读书笔记: 博弈论导论 - 14 - 不完整信息的静态博弈机制设计

Posted 2020-10-22 想想你应该干什么

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读书笔记: 博弈论导论 - 14 - 不完整信息的静态博弈机制设计

机制设计(Mechanism Design)

本文是Game Theory An Introduction (by Steven Tadelis) 的学习笔记。

机制设计的概念

机制设计的目标是设计一个可以达到期望收益的博弈。
由于这是根据博弈结果来推导博弈的形式，也被称为反向博弈论(reverse game theory)。
这个理论明显在经济和政治方面有很多用途。
我们假象这样一个例子：

某个政府需要设计一个关于化工厂的环保政策。
这个政策可能涉及到：几个化工厂、政府和大众。
大概的想法是：政府有一些排放许可；化工厂需要从政府那里买排放许可；政府和大众利用获得的资金改善环境。
机制设计的核心是：制定玩家的行动和支付资金的关系。

从上面的例子可以看出一些新的元素：

排放许可
在理论中称之为替代选择(alternatives)，或者叫做公共物品(public good)。
资金的转移(monetary transfer)

新的概念：

机制设计者(mechanism designer)
也称为中央集权(central authority)。中央集权不一定是玩家。
替代选择(alternatives)或者公共物品(public good)
中央集权提供的公共物品或者服务。
将成为玩家的结果(outcome)的一部分。
资金的转移(monetary transfer)
每个玩家获得的资金。负数表示支付的资金，
成为收益函数的一部分。
收益函数
在机制设计中，玩家的结果包含两部分：公共物品和资金的转移。
另外，我们简单地加上资金部分作为收益。
所以收益函数变为:

\\[v_i(x, m_i, \\theta_i) = u(x, \\theta_i) + m_i \\]

所有玩家的一个结果组合(outcomes)
这里用y来表示，以区分x。

\\[y = (x, m_1, \\cdots, m_n) : x \\in X, m_i \\in \\mathbb{R} \\ \\forall i \\in N, \\sum_{i=1}^{n} m_i \\leq 0 \\\\ y_i = (x_i, m_i) \\]

选择规则(choice rule)
根据类型\\(\\theta\\)得到机制的结果\\(y\\)。

\\[f(\\theta) = (x(\\theta), m_1(\\theta), \\cdots, m_n(\\theta)) \\\\ where \\\\ x(\\theta) \\text( : decision rule) \\\\ (m_1(\\theta), \\cdots, m_n(\\theta)) \\text( : transfer rule) \\]

选择条件定义了每个类型想要的结果。

机制设计者面临的问题和一个方向

机制设计者面临的问题和一个方向

在不完整信息博弈中，私有信息（机制设计者不知道的信息）：

每个玩家的类型\\(\\theta\\)。
公共知识：

类型集合\\(\\Theta\\)

每种类型的选择规则，也就是每种类型玩家倾向的结果

每种类型的策略，就是每种类型玩家的倾向策略

策略行动导致的结果。

机制设计的两个方向之一，是在不知道玩家的类型（这是私有信息）的情况下，
设计出一个足够聪明的博弈，能够保证：

对于每种类型的玩家组合，其选择规则的结果，和博弈的贝叶斯纳什均衡的结果一致。
也就是说，其选择规则结果和博弈的策略引起的结果一致。
满足上面条件的机制，则称之实现了选择规则。
下面是相应的数学说明。

机制(mechanism)
机制规定了玩家的行动集合，以及行动结果与资金转移的关系。

\\[\\Gamma = \\langle A_1, \\cdots, A_n, g(\\cdot) \\rangle \\\\ where \\\\ g : A_1 \\times \\cdots A_n \\to Y \\\\ \\]

玩家i的纯策略
\\(s_i : \\Theta_i \\to A_i\\)
玩家i的收益函数
\\(v_i(g(s), \\theta_i)\\)
贝叶斯纳什均衡(Bayesian Nash Equilibrium)
如果满足下面条件，一个策略组合\\(s^*(\\cdot) = (s_1^*(\\cdot), \\cdots, s_n^*(\\cdot))\\)
是一个机制\\(\\Gamma = \\langle A_1, \\cdots, A_n, g(\\cdot) \\rangle\\)的贝叶斯纳什均衡：

\\[E_{\\theta_{-1}} [v_i(g(s_i^*(\\theta_i), s_{-i}^*(\\theta_{-i})), \\theta_i) | \\theta_i] \\geq E_{\\theta_{-1}} [v_i(g(a_i, s_{-i}^*(\\theta_{-i})), \\theta_i) | \\theta_i], \\forall a_i \\in A_i, \\forall i \\in N, \\forall \\theta_i \\in \\Theta_i \\]

也就是说，对于每种类型组合，每个玩家，当对手的策略是这个策略组合时，这个玩家的这个策略组合的策略是最优的（其期望收益大于等于其它的所有策略的期望收益）。

机制实现选择规则
如果满足下面条件，则这个机制\\(\\Gamma\\)实现了(implement)选择规则\\(f(\\cdot)\\):
存在一个贝叶斯纳什均衡\\(s^*(s_1^*(\\theta_1), \\cdots, s_n^*(\\theta_n))\\)，满足：

\\[g(s_1^*(\\theta_1), \\cdots, s_n^*(\\theta_n)) = f(\\theta), \\forall \\theta_i \\in \\Theta_i \\]

部分实现(partial implementation)和完全实现(full implementation)
除了期望的贝叶斯纳什均衡，如果允许存在其它的、不期望的均衡，成为部分实现；
如果不允许存在其它的、不期望的均衡，成为完全实现；

揭露原理(the revelation principle)

机制设计的另外一个方向：玩家意识到机制设计者会实现他的选择条件\\(f(\\cdot)\\)时，玩家会透露自己的类型。

直接揭露机制(direct revelation mechanism)
一个选择规则\\(f(\\cdot)\\)的直接揭露机制\\(\\Gamma = \\langle \\Theta_1, \\cdots, \\Theta_n, f(\\cdot) \\rangle\\)是:

\\[A_i = \\Theta_i, \\forall i \\in N \\\\ g(\\theta) = f(\\theta), \\forall \\theta \\in \\Theta \\]

解释：

对于每个玩家，其行动集合\\(\\Theta\\)是选择规则\\(\\Theta_i\\)对应的行动集合（想象一下，每个类型对应一个策略，一个策略对应一个行动）。
对于每个类型\\(\\theta\\)，它的选择规则（想要的）结果\\(f(\\theta)\\)和机制设计的结果\\(g(\\theta)\\)一致。

在贝叶斯纳什均衡中诚实地可实现的(truthfully implementable in Bayesian Nash equilibrium)
一个选择规则\\(f(\\cdot)\\)是在贝叶斯纳什均衡中诚实地可实现的，
如果这个选择规则的直接揭露机制\\(\\Gamma = \\langle \\Theta_1, \\cdots, \\Theta_n, f(\\cdot) \\rangle\\)有一个贝叶斯纳什均衡\\(s_i^*(\\theta_i) = \\theta_i\\),
也就是说，满足：

\\[E_{\\theta_{-1}} [v_i(f(\\theta_i, \\theta_{-i}), \\theta_i) | \\theta_i] \\geq E_{\\theta_{-1}} [v_i(g(\\theta_i\', \\theta_{-i}), \\theta_i) | \\theta_i], \\forall \\theta_i\' \\in \\Theta_i \\]

解释：

当解释规则的直接揭露机制有有一个贝叶斯纳什均衡解，则其实完全可满足的。

推论 14.1 : 对于贝叶斯纳什实现的揭露原理
一个选择规则\\(f(\\cdot)\\)在贝叶斯纳什均衡中是可实现的，当且仅当它在贝叶斯纳什均衡中诚实地可实现的(truthfully implementable in Bayesian Nash equilibrium)。

揭露原理的想法：

在均衡中，玩家知道这个机制实现了选择规则\\(f(\\cdot)\\)，所以会何其保持一致。
因此他们可能会诚实地述说他们的类型，让机制设计者直接实现选择规则\\(f(\\cdot)\\)。

优势策略和Vickrey-Clarke-Groves机制

优势策略
如果满足以下条件，则策略组合\\(s^*(\\cdot) = (s_1^*(\\cdot), \\cdots, s_n^*(\\cdot))\\)是一个机制\\(\\Gamma = \\langle A_1, \\cdots, A_n, g(\\cdot) \\rangle\\)的优势策略：

\\[v_i(g(s_i^*(\\theta), a_{-i}), \\theta_i) \\geq v_i(g(a_i\', a_{-i}), \\theta_i), \\forall a_i \\in A_i, \\forall a_{-i} \\in A_{-i}, \\forall i \\in N, \\forall \\theta_i \\in \\Theta_i \\]

同时，揭露原理意味着如果选择法则\\(f(\\cdot)\\)如果一个选择规则可以被一个优势策略实现，我们只要检测这个选择法则是在优势策略中诚实地可实现的。
即：

\\[v_i(f(\\theta_i, \\theta_{-i}), \\theta_i) \\geq v_i(f(\\theta_i\', \\theta_{-i}), \\theta_i), \\forall \\theta_i \\in \\Theta_i, \\forall \\theta_{-i} \\in \\Theta_{-i}, \\forall i \\in N, \\forall \\theta_i \\in \\Theta_i \\]

推论 14.2
在一个准线性(quasilinear)环境中，给定一个实例状态\\(\\theta \\in \\Theta\\)，
一个替代物(alternative)\\(x^* \\in X\\)是一个帕累托优化，当且仅当下面有一个解：

\\[\\max_{x \\in X} \\sum_{i=1}^I u_i(x_i, \\theta_i) \\]

First-best decision rule
如果对于\\(\\forall \\ \\theta \\in \\Theta\\), \\(x^*(\\theta)\\)都是帕累托优化的，则\\(x^*(\\cdot)\\)为First-best decision rule。
Vickrey-Clarke-Groves机制
给定一个宣布的类型\\(\\theta\'\\)，
这个选择规则\\(f(\\theta\') = (x(\\theta\'), m_1(\\theta\'), \\cdots, m_n(\\theta\') )\\)是一个Vickrey-Clarke-Groves机制，
如果\\(x^*(\\cdot)\\)是一个第一好决定规则(first-best decision rule)，并且：

\\[m_i(\\theta\') = \\sum_{j \\neq i} u_j(x^*(\\theta\'_j, \\theta\'_{-i}), \\theta\'_j) + h_i(\\theta\'_{-i}) \\\\ where \\\\ h_i(\\theta\'_{-i}) \\text{ is an arbitrary function of } \\theta\'_{-i} \\]

解释：

没有完全看懂。大概的意思是对于First-best decision rule \\(x^*(\\cdot)\\)，
可以找到一个转移规则\\((m_1(\\cdot), \\cdots, m_n(\\cdot))\\)，
让选择规则成为一个在优势策略中可实现。

下面是一个解：

Pivotal Mechanism - a particular form of Vickrey-Clarke-Groves机制

\\[h_i(\\theta\'_{-i}) = - \\sum_{j \\neq i} u_j(x_{-i}^*(\\theta\'_{-i}), \\theta\'_j) \\\\ where \\\\ x_{-i}^*(\\theta\'_{-i}) \\in \\arg \\max_{x \\in X} \\sum_{j \\neq i} u_j(x, \\theta\'_j) \\\\ Thus \\\\ m_i(\\theta\') = \\sum_{j \\neq i} u_j(x^*(\\theta\'_j, \\theta\'_{-i}), \\theta\'_j) - \\sum_{j \\neq i} u_j(x_{-i}^*(\\theta\'_{-i}), \\theta\'_j) \\\\ \\]