现代控制理论基础四控制系统的稳定性

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4.1 李雅普诺夫关于稳定性的定义

设所研究系统的齐次状态方程为:
x ˊ = f ( x , t ) (1) \\acute{x}=f(x,t) \\tag 1 xˊ=f(x,t)(1)
式中, x x x n n n 维状态矢量; f f f 为与 x x x 同维的矢量函数,它是 x x x 各元素 x 1 , x 2 , ⋯   , x n x_1,x_2,\\cdots,x_n x1,x2,,xn 和时间 t t t 的函数。

设方程式(1)在给定初始条件 ( t 0 , x 0 ) (t_0,x_0) (t0,x0) 下,有唯一解: x = ϕ ( t ; x 0 , t 0 ) (2) x=\\phi(t;x_0,t_0) \\tag 2 x=ϕ(t;x0,t0)(2)

式(2)实际上描述了系统式(1)在 n n n 维状态空间中从初始条件 ( t 0 , x 0 ) (t_0,x_0) (t0,x0) 出发的一条状态运动的轨迹,简称系统的运动或 状态轨迹

若式(1)存在状态矢量 x e x_e xe ,对所有 t t t,都使
f ( x e , t ) ≡ 0 f(x_e,t)\\equiv0 f(xe,t)0
成立,则 x e x_e xe 称为系统的平衡状态

  • 李雅普诺夫意义下稳定
    如果方程式(1)描述的系统对于任意选定的实数 ϵ > 0 \\epsilon >0 ϵ>0 ,都对应存在另一实数 δ ( ϵ , t 0 ) > 0 \\delta ( \\epsilon , t_0) >0 δ(ϵ,t0)>0,使当 ∣ ∣ x 0 − x e ∣ ∣ ≤ δ ( ϵ , t 0 ) ||x_0-x_e||\\leq\\delta(\\epsilon,t_0) x0xeδ(ϵ,t0)
    时,从任意初态 x 0 x_0 x0 出发的解都满足:
    ∣ ∣ ϕ ( t ; x 0 , t 0 ) − x e ∣ ∣ ≤ ϵ , t 0 ≤ t < ∞ ||\\phi(t;x_0,t_0)-x_e||\\leq\\epsilon,t_0\\leq t< \\infty ϕ(t;x0,t0)xeϵ,t0t<
    则称平衡状态 x e x_e xe 为李雅普诺夫意义下稳定。 其中实数 δ \\delta δ ϵ \\epsilon ϵ 有关,一般情况下也与 t 0 t_0 t0 有关。如果 δ \\delta δ t 0 t_0 t0 无关,则称这种平衡状态是一致稳定的。

▲ 稳定的平衡状态及其状态轨线

  • 渐进稳定
    如果平衡状态 x e x_e xe 是稳定的,而且当 t t t 无限增长时,轨线不仅不超出 s ( ϵ ) s(\\epsilon) s(ϵ) ,而且最终收敛于 x e x_e xe ,则称这种平衡状态 x e x_e xe 渐近稳定 。

▲ 渐进稳定的平衡状态及其状态轨线

  • 大范围渐进稳定
    如果平衡状态 x e x_e xe 是稳定的,而且从状态空间中所有初始状态出发的轨线都具有渐近稳定性,则称这种平衡状态 x e x_e xe 大范围渐进稳定
  • 不稳定
    如果对于某个实数 ϵ > 0 \\epsilon>0 ϵ>0 和任一实数 δ > 0 δ >0 δ0 ,不管 δ \\delta δ 这个实数多么小,由 s ( δ ) s(\\delta) s(δ) 内出发的状态轨线,至少有一个轨线越过 s ( ϵ ) s(\\epsilon) s(ϵ) ,则称这种平衡状态 x e x_e xe 不稳定

▲不稳定的平衡状态及其状态轨线

  • 如果 x ( t ) x( t ) x(t) 有界,则称 x e x_e xe 稳定 。如果 x ( t ) x( t) x(t) 不仅有界而 lim ⁡ t → ∞ x ( t ) = 0 \\lim_{t\\to \\infty} x(t) = 0 limtx(t)=0,收敛于原点,则称 x e x_e xe 渐近稳定。 如桌 x ( t ) x(t) x(t) 为无界,则称 x e x_e xe 不稳定。
    在经典控制理论中,只有渐进稳定的系统才称作稳定系统。 只在李雅普诺夫意义下稳定,但不是渐近稳定的系统则称临界稳定系统,这在工程上属于不稳定系统。

4.2 李雅普诺夫第一法(间接法)

  • (状态稳定性)线性定常系统 ∑ : ( A , b , c ) \\sum:(A,b,c) :(A,b,c)
    x ˊ = A x + b u y = c x \\acute{x}=Ax+bu\\\\ y=cx xˊ=Ax+buy=cx
    平衡状态 x e x_e xe 渐进稳定的充要条件是矩阵 A A A 的所有特征值均具有负实部。
  • (输出稳定性)线性定常系统 ∑ : ( A , b , c ) \\sum:(A,b,c) :(A,b,c) 输出稳定的充要条件是其传递函数:
    W ( s ) = c ( s I − A ) − 1 b W(s)=c(sI-A)^{-1}b W(s)=c(sIA)1b
    的极点全部位于 s s s 的左半平面。

4.3 李雅普诺夫第二法