现代控制理论基础一线性系统的状态空间描述

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1.1 状态空间分析法

  • 状态变量
    一 组 变 量 → { 1 、 足 以 完 全 确 定 系 统 运 动 状 态 2 、 个 数 又 是 最 小 一组变量 \\to \\begin{cases} 1、足以完全确定系统运动状态 \\\\ 2、个数又是最小 \\end{cases} {12
    性 质 : { 1 、 x t = t 0 2 、 t ≥ t 0 时 刻 的 输 入 I t → 完 全 确 定 在 任 何 t ≥ t 0 时 刻 的 状 态 x t 性质: \\begin{cases} 1、x_{t=t_0} \\\\ 2、t \\geq t_0 时刻的输入I_t \\end{cases} \\to完全确定在任何t \\geq t_0 时刻的状态 x_t {1xt=t02tt0Ittt0xt
    类似于函数: x t = f ( x t 0 , I t ) x_t=f(x_{t_0},I_t) xt=f(xt0,It)
  • 状态矢量
    如果 n n n 个状态变量用 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , . . . , x n ( t ) x_1(t),x_2(t),...,x_n(t) x1(t),x2(t),...,xn(t) 表示,并把这些状态变量看作是矢量 x ( t ) x(t) x(t) 的分量,则称 x ( t ) x(t) x(t)为状态矢量,记作:
    x ( t ) = ( x 1 ( t ) x 2 ( t ) ⋮ x n ( t ) ) x(t)=\\begin{pmatrix} x_1(t) \\\\ x_2(t)\\\\ \\vdots \\\\ x_n(t) \\\\ \\end{pmatrix} x(t)=x1(t)x2(t)xn(t)
  • 状态空间
    以状态变量用 x 1 ( t ) , x 2 ( t ) , . . . , x n ( t ) x_1(t),x_2(t),...,x_n(t) x1(t),x2(t),...,xn(t) 为坐标轴所构成的 n n n 维空间,称为状态空间。
  • 状态方程
    由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态空间。

例:以 R − L − C R-L-C RLC 电路说明如何用状态变量描述系统

▲ 图1

有 一 阶 微 分 方 程 组 : { C ⋅ d u c d t = i L ⋅ d i d t + R i + u c = u    ⟹    { u ˊ c = 1 C ⋅ i i ˊ = − 1 L u c − R L i + 1 L u (1) 有一阶微分方程组: \\begin{cases} C\\cdot\\frac{du_c}{dt}=i \\\\[2ex] L\\cdot\\frac{di}{dt}+Ri+u_c=u \\end{cases} \\implies \\begin{cases} \\acute{u}_c=\\frac{1}{C}\\cdot i \\\\[2ex] \\acute{i}=-\\frac{1}{L}u_c-\\frac{R}{L}i+\\frac{1}{L}u \\end{cases} \\tag1 Cdtduc=iLdtdi+Ri+uc=uuˊc=C1iiˊ=L1ucLRi+L1u(1)
令 { x 1 = u c x 2 = i    ⟹    ( x 1 ˊ x 2 ˊ ) = ( 0 1 C − 1 L − R L ) ( x 1 x 2 ) + ( 0 1 L ) u (2) 令 \\begin{cases} x_1=u_c \\\\[2ex] x_2=i \\end{cases} \\implies \\begin{pmatrix} \\acute{x_1}\\\\[2ex] \\acute{x_2}\\\\ \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0 & \\large\\frac{1}{C}\\\\[2ex] \\large-\\frac{1}{L} & \\large-\\frac{R}{L}\\\\ \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} x_1\\\\[2ex] x_2\\\\ \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} 0\\\\[2ex] \\large\\frac{1}{L}\\\\ \\end{pmatrix}u \\tag2 x1=u现代控制理论课程实验一:线性系统状态空间分析与运动解

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