现代控制理论基础二线性控制系统的运动分析

Posted 2021-06-25 AXYZdong

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文章目录

• • 2.1 线性定常系统齐次状态方程的解
  • 2.2 状态转移矩阵
  • • 2.2.1 状态转移矩阵的含义
    • 2.2.2 状态转移矩阵的基本性质
    • 2.2.3 几个特殊的矩阵指数函数
    • 2.2.4 $\varphi (t)$ 或 $e^{At}$ 的计算
  • 2.3 线性定常系统非齐次状态方程的解
  • • 2.3.1 线性系统的运动规律
    • 2.3.2 特定输入下的状态响应
  • 2.4 线性时变系统的运动分析
  • • 2.4.1 齐次状态方程的解
    • 2.4.2 状态转移矩阵的计算
    • 2.4.3 线性时变非齐次状态方程的解
    • 2.4.4 系统输出
  • 2.5 线性定常系统的离散化
  • 参考文献

2.1 线性定常系统齐次状态方程的解

• 线性定常系统的运动

1. 自由运动：线性定常系统在没有控制的作用，即 $u=0$ 时，由初始状态引起的运动称自由运动。
   齐次状态方程的解：$\acute{x}=Ax，x(t){|}_{t=0}=x(0)$
2. 强迫运动：线性定常系统在控制 $u$ 作用下的运动，称为强迫运动。
   非齐次状态方程的解：$\acute{x}=Ax+Bu，x(t){|}_{t=0}=x(t_0)$

• 齐次状态方程：$\acute{x}=Ax$
  满足初始状态 $x(t){|}_{t=0}=x(t_0)$ 的解是：
  $$x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0),t\ge t_0$$
  满足初始状态 $x(t){|}_{t=0}=x(0)$ 的解是：
  $$x(t)=e^{At}x(0),t\ge 0$$

2.2 状态转移矩阵

2.2.1 状态转移矩阵的含义

已知线性定常系统的齐次状态方程：$\acute{x}=Ax$

满足初始状态 $x(t){|}_{t=0}=x(0)$ 的解是：
$$x(t)=e^{At}x(0),t\ge 0$$

满足初始状态 $x(t){|}_{t=0}=x(t_0)$ 的解是：
$$x(t)=e^{A(t-t_0)}x(t_0),t\ge t_0$$

$$令：\{\begin{array}{l}{e}^{At}=\varphi (t)\\ e^{A(t-t_0)}=\varphi (t-t_0)\end{array}，则有：\{\begin{array}{l}x(t)=\varphi (t)x(0)\\ x(t)=\varphi (t-t_0)x(t_0)\end{array}$$
说明：

1、状态转移矩阵必须满足以下两个条件

2. 状态转移矩阵初始条件：$\varphi (t-t_0)=I$
3. 状态方程本身：$\varphi (t-t_0)=A\varphi (t-t_0)$

2、对于线性定常系统来说，状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身

3、状态转移矩阵的物理意义：从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵。

2.2.2 状态转移矩阵的基本性质

1. 不发生时间推移下的不变性
   $$e^{A(t-t_0)}=e^{A0}=I$$
2. 传递性（组合性）
   $$\varphi (t_2-t_0)=\varphi (t_2-t_1)\varphi (t_1$$