现代控制理论基础一线性系统的状态空间描述

Posted 2021-07-06 AXYZdong

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文章目录

• • 1.1 状态空间分析法
  • 1.2 状态结构图
  • 1.3 状态空间描述的建立
  • • 1.3.1 由系统框图建立空间状态描述
    • 1.3.2 由系统机理建立空间状态描述
  • 1.4 化输入-输出描述为状态空间描述及其几种标准形式
  • • 1.4.1 传递函数没有零点的实现
    • 1.4.2 传递函数有零点的实现
  • 1.5 由状态空间表达式求传递函数阵
  • 1.6 状态矢量的线性变换
  • • 1.6.1 系统状态空间表达式的非唯一性
    • 1.6.2 系统特征值的不变性及系统的不变量
    • 1.6.3 状态空间表达式变换为约旦标准型
  • 参考文献

1.1 状态空间分析法

• 状态变量
  $$一组变量\to \{\begin{array}{l}1、足以完全确定系统运动状态\\ 2、个数又是最小\end{array}$$
  $$性质：\{\begin{array}{l}1、x_{t=t_0}\\ 2、t\ge t_0时刻的输入I_t\end{array}\to 完全确定在任何t\ge t_0时刻的状态x_t$$
  类似于函数：$x_t=f(x_{t_0},I_t)$
• 状态矢量
  如果 $n$ 个状态变量用 $x_1(t),x_2(t),...,x_n(t)$ 表示，并把这些状态变量看作是矢量 $x(t)$ 的分量，则称 $x(t)$为状态矢量，记作：
  $$x(t)=\left(\begin{array}{c}{x}_1(t)\\ x_2(t)\\ ⋮\\ x_n(t)\end{array}\right)$$
• 状态空间
  以状态变量用 $x_1(t),x_2(t),...,x_n(t)$ 为坐标轴所构成的 $n$ 维空间，称为状态空间。
• 状态方程
  由系统的状态变量构成的一阶微分方程组称为系统的状态空间。

例：以 $R-L-C$ 电路说明如何用状态变量描述系统

^{▲ 图1}

$$有一阶微分方程组：\{\begin{array}{l}C\cdot \frac{d{u}_c}{dt}=i\\ L\cdot \frac{di}{dt}+Ri+u_c=u\end{array}⟹\{\begin{array}{l}{\acute{u}}_c=\frac{1}{C}\cdot i\\ \acute{i}=-\frac{1}{L}{u}_c-\frac{R}{L}i+\frac{1}{L}u\end{array}\text{\hspace{1em}(1)}$$
令 { x 1 = u c x 2 = i    ⟹    ( x 1 ˊ x 2 ˊ ) = ( 0 1 C − 1 L − R L ) ( x 1 x 2 ) + ( 0 1 L ) u (2) 令 \\begin{cases} x_1=u_c \\\\[2ex] x_2=i \\end{cases} \\implies \\begin{pmatrix} \\acute{x_1}\\\\[2ex] \\acute{x_2}\\\\ \\end{pmatrix} = \\begin{pmatrix} 0 & \\large\\frac{1}{C}\\\\[2ex] \\large-\\frac{1}{L} & \\large-\\frac{R}{L}\\\\ \\end{pmatrix} \\begin{pmatrix} x_1\\\\[2ex] x_2\\\\ \\end{pmatrix} + \\begin{pmatrix} 0\\\\[2ex] \\large\\frac{1}{L}\\\\ \\end{pmatrix}u \\tag2 令⎩⎨⎧​x1​=u现代控制理论课程实验一：线性系统状态空间分析与运动解

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