现代控制理论基础三控制系统的能控性和能观测性

Posted 2021-09-10 AXYZdong

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文章目录

• • 3.1 能控性及其判据
  • • 3.1.1 例子
    • 3.1.2 能控性定义
    • 3.1.2 能控性判据
  • 3.2 能观测性及其判据
  • • 3.2.1 能观测性定义
    • 3.2.2 能观测性判据
  • 3.3 对偶原理
  • 3.4 能控标准型和能观测标准型
  • • 3.4.1 能控标准型
    • 3.4.2 能观测标准型
  • 参考文献

3.1 能控性及其判据

指外输入 $u(t)$ 对系统状态变量 $x(t)$ 和输出变量 $y(t)$ 的支配能力，它回答了 $u(t)$ 能否使 $x(t)$ 和 $y(t)$ 做任意转移的问题。

• 有些状态分量能受输入 $u(t)$ 的控制，有些则可能不受 $u(t)$ 的控制。受 $u(t)$ 控制的状态称为能控状态，不受 $u(t)$ 控制的状态称为不能控状态。

3.1.1 例子

例1：系统的结构图如下

显然，$u$ 只能控制 $x_1$ ，而不能影响 $x_2$ ，我们称状态变量 $x_1$ 是可控的，而 $x_2$ 是不可控的。

• 只要系统中有一个状态变量是不可控的，则该系统是状态不可控的。

例2：取 $i_L$ 和 $u_c$ 作为状态变量，$u$ 为输入，$y=u_c$ 为输出。

1. 当 $R_1{R}_4\ne R_2{R}_3$，状态可控；
2. 当 $R_1{R}_4=R_2{R}_3$ ，$u$ 只能控制 $i_L$，状态不可控。

3.1.2 能控性定义

对于线性定常系统：$$\begin{gathered} \acute{x}=Ax+Bu \\ 其中,x、u分别为n、r维向量 \\ A为n\times n常值矩阵，B为n\times r常值矩阵\text{\hspace{1em}(1)} \end{gathered}$$
如果存在一个分段连续系统的输入 $u(t)$，能在 $[t_0,t_f]$ 的有限时间内使得系统的某一初始状态 $x(t_0)$ 转移到任一终端状态 $x(t_f)$，则称此状态是能控的。

如果系统的所有状态都是能控的，则称系统是状态完全能控的。

根据初始状态和终端状态的不同位置，可以分为：

• 系统的状态能控性：（常用）
  初始状态为状态空间任意非零有限点；
  终端状态为状态空间原点，即零态。
• 系的状态能达性：
  初始状态为为状态空间原点，即零态；
  终端状态为状态空间任意非零有限点。

3.1.2 能控性判据

• 格拉姆矩阵法
  对于式（1）的系统状态能控的充分必要条件是矩阵 $W_c[0,t_1]$ 的秩为 $n$ ，其中
  $$W_c[0,t_1]={\int }_0^{t_1}{e}^{-A\tau }B{B}^T{e}^{-A^T\tau }d\tau$$
  
  
• 若式（1）系统能控，则 $n\times nr$ 能控性矩阵
  $$Q_c=\left(\begin{array}{ccccc}B& AB& A^{2}B& \cdots & A^{n-1}B\end{array}\right)$$
  满秩。即：
  $$rank{Q}_c=n$$
  
  
• PHB判别法
  式（1）的系统能控的充分必要条件是 $n\times (n+r)矩阵[\lambda I-A|B]$ 对 $A$ 的所有特征值 ${\lambda }_i$之秩都是 $n$。即：
  $$rank[{\lambda }_{i}I-A|B]=n，（i=1,2,...,n）$$
  
  
• 式（1）系统的矩阵 $A$ 特征值 ${\lambda }_i（i=$