李宏毅线性代数笔记7 子空间

Posted 2021-08-30 刘文巾

1 子空间的定义

满足以下三个条件的向量集V称为子空间

1，零向量属于V

2，如果向量u和向量w属于V，那么向量u+w属于V

3，如果向量u属于V，并且c是一个标量，那么向量cu属于V

——》条件1说明：

        向量集非空

        0倍的向量u也在子空间中

——》条件2+条件3正好是线性组合的两种方式 

 满足三个条件，说明这个是一个子空间

 

 这个就不是一个子空间

 

span——由这些向量线性组合张成的空间

 2 零空间 null space

齐次线性方程组Ax=0的所有解构成的subspace称为Null Space.

零空间的free variable，也就是可变的（自由）变量。

 dim(Null A)=自由变量个数=n-number of pivot columns=n-rank(A)

3 列空间与行空间

列空间就是一个矩阵所有列的span 的集合，因此，列空间也就是矩阵（函数）的值域的集合。

Row A=Col ：可以把行空间翻转变成列空间

Av 每一列乘以v对应的数值作为权重，线性求和

 dim(col A)=number of pivot columns=rank A

 4 基basis

4.1 基的定义

基的定义：对非零的子空间满足

1. 存在一组线性无关的向量
2. 此向量组可以组合成subspace中的任意向量

则此向量组称为子空间的基（Basis）。

4.2 基的维数 

 4.2.1 定理1衍推定理

 

 

4.2.2  定理2衍推定理

4.3 判断一个向量集C是否是子空间V的一个基