李宏毅线性代数笔记4：向量

Posted 2021-08-30 刘文巾

1 空间向量

假设a=[x y]T，空间中的a 可以理解为从原点(0,0) 到(x,y) 的一条有向线段，也就是x 轴上长度与y 轴上长度的矢量叠加。那么数乘向量λ×a 可以理解为将x 轴与y 轴长度分别变为λ 倍后矢量叠加在一起，同时也可以理解为将原本叠加的向量变为λ 倍。

 1.1 向量的性质

1）加法交换律

2）加法结合律

3）0+α=α+0=α （零元）

4）α+(-α）=0 （负元）

5）1α=α （单位元）

6）(kl)α=k(lα）乘法结合律

7）(k+l)α=kα+lα  乘法左分配律

8）k(α+β)=kα+kβ 乘法右分配律

1.2 向量空间

给定一个数域K，令n是任意给定的一个正整数，那么={(a1,a2,…..,an)|ai∈K}

中的两个元素(a1,a2,…..an)和(b1,b2,……bn)相等，当a1=b1,a2=b2,……an=bn

数域K上所有n元有序数组组成的集合,连同定义在它上面的加法运算和数乘运算，和8条性质一起，构成数域K上的n维向量空间

 1.3 线性组合和线性表出

如果某一个元素可以由其他几个元素线性组合而成，那么称其可以被线性表出

2 向量集

3 线性相关与线性无关的向量组

中向量组a1,a2,……as是线性相关（linear dependent）的：如果K中不全为0的数k1,k2,……ks，使得k1a1+k2a2+……+ksas=0

——>也就是说至少有一个向量可以由其他向量线性表出

中向量组a1,a2,……as是线性无关（linear independent）的：如果k1a1+k2a2+……+ksas=0，可以推出所有的系数全为0 

——>每一个向量都不能由其他向量线性表出

包含零向量的向量组一定线性相关

——>零向量的那个系数为1，别的为0即可

单个向量线性无关 等价于 此向量不为零向量

a1,a2,……an是线性相关的

——>以a1,…..an为列向量组的矩阵的行列式为0

——>无穷组解（有非零解）（det=0，要么是无解，要么是无穷解。因为已经有零解这一个解了，所以肯定不是无解）

a1,a2,……an是线性无关的

——>以a1,…..an为列向量组的矩阵的行列式不为0

——>唯一解，也就是零解

如果向量组线性无关——它的延伸组也线性无关（延伸组：每个向量添加几个维度）

如果向量组线性相关——它的缩短组也线性相关（缩短组：每个向量缩短几个维度）

向量组的一个部分组线性相关——向量组线性相关（不在部分组的向量为0，不分组的按照线性相关的组合设定系数）

向量组线性无关——向量组的部分组线性无关（如果部分组线性相关，假设系数组合为k1,k2,...kn，那么至少对于原向量组来说k1,k2,...kn,0,...0是一种使得向量组线性相关的系数组合）

4 向量的秩rank 

4.1 向量组的等价

        两个向量组互相可以线性表出对方（向量组中的每一个向量都能被另一个向量组线性表出）——这两个向量组等价

向量组的等价具有以下三个性质：

        1）反身性

        2）传递性

        3）对称性

4.2 极大线性无关组

极大线性无关组——这个部分组是线性无关的，但是从向量组的其余向量中任意填进去一个，得到的新的部分组都是线性相关的

向量组和它的极大无关组等价

向量组的任意两个极大无关组等价

 向量组β1,β2,……βr可以由向量组α1，α2，…αs线性表出，如果r＞s，那么β1,…βr线性相关（少的那个可能线性相关，可能线性无关，但是多的那个一定线性相关）

等价的线性无关向量组所含向量的个数相等

——>向量的任意两个极大无关组所含的向量个数相同

 4.3 向量组的秩

向量组的极大无关向量组所含向量的个数称为这个向量组的秩

——>向量a1…..as线性无关的充要条件是它的秩等于s

        如果向量组I能由向量组Ⅱ线性表出，那么向量组I的秩小于等于向量组Ⅱ （向量组I能由向量组Ⅱ线性表出，说明向量组Ⅱ的部分或者全部可以表示向量组Ⅰ。换句话说，向量组Ⅰ可以表示的，向量组Ⅱ都能，向量组Ⅱ可能还有向量组Ⅰ不能表示的，所以向量组Ⅱ的秩大于等于向量组Ⅰ）

        等价的向量组有相同的秩

4.4 矩阵的秩

列秩：列向量组的秩

行秩：行向量组的秩t

4.4.1 阶梯形矩阵的列秩和行秩

        阶梯形矩阵（echelon form）的行秩和列秩相等，都等于非零行的个数；且该阶梯型矩阵的主元所在的列构成了一个极大线性无关组。

        矩阵的初等行（列）变换不改变行（列）秩

        矩阵A经过初等行变换变成阶梯形矩阵J，那么A的秩等于J的非零行的个数，且J的主元对应的A的列构成一个极大线性无关组。

4.4.2 矩阵的秩

任意矩阵的行秩=列秩——>矩阵和它的转置秩相等

任意非零矩阵的秩都等于它的不为零的子式的最高阶数

满秩矩阵——>方阵，且秩等于它的级数

 设s*n阶矩阵 A的秩为r，则A的不为0的r阶子式所在的行/列构成A的一个极大线性无关组

 4.4.3 矩阵的秩和简化阶梯矩阵的秩

 ——>给定一个M*N的矩阵，他的秩小于等于min(M,N)

两个矩阵乘积的秩小于等于两个矩阵的秩