李宏毅线性代数笔记5：线性方程组

Posted 2021-08-30 刘文巾

1 线性方程的解

1.1 两维的情况 

 

 span of the columns of A——由A的列向量张成的空间

 2 线性方程有解的充要条件

线性方程x1a1+x2a2+……+xnan=β有解（consistent）的充要条件

——>系数矩阵（coefficient matrix）和增广矩阵（augmented matrix）有相同的秩

若秩等于未知元的个数，则有唯一解（向量组线性无关）

若秩小于未知元个数，则有无穷多组解（向量组线性相关）

——>齐次线性方程组有非零解：秩小于未知量个数k

RREF 见李宏毅线性代数笔记6：矩阵的计算_刘文巾的博客-CSDN博客

Ax=b对每一个b都有解

——>[A b]的简化阶梯形矩阵不能有一行只有最后一个元素非0

——>A的简化阶梯形矩阵不能有一行全是0

——>A的秩等于A的行数（如果A的秩少的话，说明有一行可以被别的线性表出，那么经过几次初等行变换，会有一行全为0）

2.1 一道例题

系数矩阵扩充一列，就是增广矩阵——>所以rank(A)<=rank(A~)

增广矩阵扩充一行，就是B——>所以rank(A~)<=rank(B)

而A和B的rank又一样——>所以三者只能取等，所以三者有解

3 齐次线性方程组解集的结构

齐次线性方程组（homogeneous linear equations）任意两个解的和还是方程组的解

齐次线性方程组任意一个解的倍数还是方程组的一个解

3.1 线性子空间

的一个非空子集U如果满足：

（1）任取a,b∈U，a+b∈U

（2）任取a∈U，ka∈U

那么U是的一个线性子空间

齐次线性方程组的解集是的一个子空间（解空间）

{0}——零子空间

{0}和Kn——平凡的子空间；其余子空间：非平凡的子空间

3.2 基础解系 

齐次线性方程组有非零解的时候，如果他有有限多个解n1,n2，….nt满足

1. 线性无关
2. 方程组中的每一个解都可以由他们线性表出

那么n1,n2,…..nt是线性方程组的基础解系，K1n1+k2n2+……+ktnt 是线性方程组的通解

        数域K上n元齐次线性方程组的系数矩阵A的秩小于未知量个数n的时候，它一定有基础解系，且它的每一个基础解系所含解向量的个数为n-rank(A)

3.3 举一个例子 

求一个齐次线性方程组的基础解系

x1-3x2+5x3-2x4=0

-2x1+x2-3x3+x4=0

-x1-7x2+9x3-4x4=0

 4 非齐次线性方程组解集的结构

        对于非齐次线性方程组 x1a1+x2a2+……+xnan=bn,我们令x1a1+x2a2+……+xnan=0 为非齐次线性方程组的导出组

        非齐次线性方程组的两个解的差是他的导出组的一个解

        非齐次线性方程组的一个解与它的导出组的一个解之和也为非齐次线性方程组的一个解

        如果数域K上n元非齐次线性方程组有解，那么它的解集U为{r0+n|n∈W} 其中r0是非齐次线性方程组（1）的一个解（特解），W是导出组的解集

5 基和维数

设U是Kn的一个子空间，U中的向量组a1….ar如果满足：

（1）a1……ar 线性无关

（2）U中的每一个向量都能由他们线性表出

那么a1….ar为U的一个基

 e1,e2,…..en——Kn的标准基

Kn的非零子空间U的任何两个基所含向量的个数相同——这个个数就是维度，记作dimU

数域K上n元齐次线性方程组有非零解时，解空间W的维数 dimW=n-rankA（A是系数矩阵）

<a1,…,as>={k1a1+k2a2+…….+ksas}——a1,…as生成的子空间

rank{a1,…as}=dim<a1,…..as>：都是向量组的极大无关组中向量的个数

——向量组的秩等于它生成的子空间的维数