数字信号处理线性常系数差分方程 ( 使用 matlab 求解 “ 线性常系数差分方程 “ 示例 | A 向量分析 | B 向量分析 | 输入序列分析 | matlab 代码 )

Posted 2022-03-04 韩曙亮

文章目录

• 一、使用 matlab 求解 “ 线性常系数差分方程 “ 示例
• • 1、B 向量元素 : x(n) 参数
  • 2、A 向量元素 : y(n) 参数
  • 3、输入序列
  • 4、matlab 代码

一、使用 matlab 求解 “ 线性常系数差分方程 “ 示例

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描述 某个 " 线性时不变系统 " 的 " 线性常系数差分方程 " 如下 :

$$y(n)=1.5x(n)+0.7y(n-1)$$

输入序列 :

$$x(n)=\delta (n)$$

边界条件 / 初始条件 :

$$y(-1)=1$$

求该 LTI 系统的 输出序列 ;

线性常系数差分方程 公式 :

$$y(n)=\sum _{i=0}^M{b}_{i}x(n-i)-\sum _{i=1}^N{a}_{i}y(n-i)n\ge M$$

1、B 向量元素 : x(n) 参数

讨论 $B$ 向量 , $B$ 向量是 $x(n)$ 的参数 , 有几个 $x(n)$ 项 , $B$ 向量 就有几个元素 ;

上式中 $M=0$ , $x(n)$ 的项只有 $1$ 项 , ${\sum }_{i=0}^M{b}_{i}x(n-i)$ 只有一项 , 加和式只有一项 , 因此对应的 $B$ 向量 , 只有 $1$ 个元素 ;

B = [1.5];

2、A 向量元素 : y(n) 参数

下面讨论 $A$ 向量 , $A$ 向量是 $y(n)$ 的参数 , 有几个 $y(n)$ 项 , $A$ 向量 就有几个元素 ;

线性常系数差分方程 :

$$y(n)=1.5x(n)+0.7y(n-1)$$

将 $0.7y(n-1)$ 移到左边 , 得到 :

$$y(n)-0.7y(n-1)=1.5x(n)$$

这里有 $2$ 个 $y(n)$ 项 , $A$ 向量的元素有两个 , $1,-0.7$ ;

A = [1, -0.7];

3、输入序列

输入序列 :

$$x(n)=\delta (n)$$

输入序列 的元素个数 , 等于 输出序列 的元素个数 ;

$n=0$ 时 , $x(n)=1$ , 然后再次生成 $30$ 个 $0$ 元素 , 放到 输入序列 中 ;

输入序列为 $1,\underset{30个0}{\underbrace{0,0,\cdots ,0}}$ , 共 $31$ 个元素 ;

对应的 matlab 代码为

xn=[1,zeros(1,30)]; 

4、matlab 代码

matlab 代码 :

% 边界条件 y(-1) = 1 , 这里设置 ys = 1
ys = 1;

% 输入序列 为 单位脉冲序列
xn=[1,zeros(1,30)]; 

% 线性常系数差分方程 中的 x(n) 项系数
B=1.5;

% 线性常系数差分方程 中的 y(n) 项系数
A=[1, -0.7];

% 等效 初始条件 的 输入序列 xi
xi=filtic(B,A,ys);

% 输出序列
yn=filter(B,A,xn,xi); 

%建立幕布
figure;
%绘制 "输出序列" 图像 , 点用上三角表示
plot(yn, '^');

% 打开网格
grid on;

绘图效果 :