数字信号处理线性常系数差分方程 ( 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 “ 线性时不变系统 “ 案例 | 根据 “ 线性时不变系统 “ 定义证明 )

Posted 2022-03-02 韩曙亮

文章目录

• 一、根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定系统是否是 " 线性时不变系统 " 案例
• • 1、根据 " 线性时不变系统 " 定义证明
  • • 假设一
    • 假设二
    • 假设三

参考 【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 线性时不变系统 “ 关联 | 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 线性时不变系统方法 ) 中提出的方法 , 根据

• " 线性常系数差分方程 "
• " 边界条件 "

判断系统是否是 " 线性时不变系统 " ;

一、根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定系统是否是 " 线性时不变系统 " 案例

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线性常系数差分方程 :

$$y(n)-ay(n-1)=x(n)$$

边界条件 ( 初始条件 ) :

$$y(0)=1$$

分析该 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定的系统 是否是 " 线性时不变系统 " ;

1、根据 " 线性时不变系统 " 定义证明

证明一个系统是 " 线性时不变系统 " ( LTI 系统 ) , 需要证明 系统 满足 " 叠加性 " 和 " 不随着时间的变化而变化特性 " 特点 ;

假设一

假设一个 " 输入序列 $x_1(n)$ " :

$$x_1(n)=\delta (n)$$

初始条件是 :

$$y_1(0)=1$$

通过 " 递推解法 " 可以得到 :
$$y_1(n)=a^{n}u(n)$$

推导过程参考 【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 使用递推解法求解 “ 线性常系数差分方程 “ | “ 线性常系数差分方程 “ 初始条件的重要性 ) 博客 ;

假设二

证明 " 线性时不变 " , 这里将 " 输入序列 " 移位 , 然后再查看 " 输出序列 " , 验证 " 时不变特性 " ;

假设一个 " 输入序列 $x_2(n)$ " :

$$x_2(n)=\delta (n-1)$$

初始条件是 :

$$y_2(0)=1$$

通过 " 递推解法 " 可以得到 :
$$y_2(n)=a^{n}u(n)+a^{n-1}u(n-1)$$

输入序列 $x_2(n)$ 比 $x_1(n)$ 延迟了 , 但是输出序列 $y_1(n)$ 和 $y_2(n)$ 是不同的 ;

比较 $y_1(n)$ 和 $y_2(n)$ 可知 , 时间改变了 , 发生了位移 , 对应的 " 输出序列 " 也改变了 , " 时不变 " 不成立 , 这是一个时变特性 ;

假设三

证明 " 线性时不变 " , 这里将之前假设的 $2$ 个 " 输入序列 " 相加 , 然后再查看 " 输出序列 " , 验证 " 线性 " ;

假设一个 " 输入序列 $x_3(n)$ " :

$$x_3(n)=x_1(n)+x_2(n)=\delta (n)+\delta (n-1)$$

初始条件是 :

$$y_3(0)=1$$

通过 " 递推解法 " 可以得到 :
$$y_3(n)=a^{n}u(n)+a^{n-1}u(n-1)$$

比较 $y_1(n)+y_2(n)$ 与 $y_3(n)$ , 二者不同 , " 线性 " 不成立 ;

该系统 , 既不是线性系统 , 又不是 时不变系统 ;

该系统是 非线性时变 系统 ;