数字信号处理线性常系数差分方程 ( 使用递推解法求解 “ 线性常系数差分方程 “ | “ 线性常系数差分方程 “ 初始条件的重要性 )

Posted 2022-03-02 韩曙亮

文章目录

• 一、使用递推解法求解 " 线性常系数差分方程 "
• 二、" 线性常系数差分方程 " 初始条件的重要性

一、使用递推解法求解 " 线性常系数差分方程 "

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使用 " 线性常系数差分方程 " 描述系统 :

$$y(n)=ay(n-1)+x(n)$$

输入序列 :

$$x(n)=\delta (n)$$

计算输出 $y(n)$ ;

假设 " 初始条件 " : 零状态为 $$y(-1)=0$$

当 $n=0$ 时 , $\delta (0)=1$ ,
$$y(0)=ay(0-1)+\delta (0)=a\times 0+\delta (0)=1$$

当 $n=1$ 时 , $\delta (1)=0$ ,
$$y(1)=ay(1-1)+\delta (1)=a\times y(0)+\delta (1)=a$$

当 $n=2$ 时 , $\delta (2)=0$ ,
$$y(2)=ay(2-1)+\delta (2)=a\times y(1)+\delta (2)=a^2$$

$⋮$

当 $n=n$ 时 ,
$$y(n)=a^{n}u(n)=h(n)$$

假设 " 初始条件 " : 零状态为 $$y(-1)=1$$

当 $n=0$ 时 ,
$$y(0)=ay(-1)+\delta (0)=1+a$$

当 $n=1$ 时 ,
$$y(1)=ay(0)+\delta (1)=(1+a)a$$

当 $n=2$ 时 ,
$$y(2)=ay(1)+\delta (2)=(1+a)a^2$$

$⋮$

当 $n=n$ 时 ,
$$y(n)=(1+a)a^{n}u(n)\ne h(n)$$

" 线性常系数差分方程 " 表示的不一定是 " 线性时不变系统 LTI " ;

二、" 线性常系数差分方程 " 初始条件的重要性

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在上面的示例中 , 相同的 " 线性常系数差分方程 "

$$y(n)=ay(n-1)+x(n)$$

相同的 " 输入序列 "

$$x(n)=\delta (n)$$

由于 " 初始条件 " 不同 , $y(-1)=1$ 和 $y(-1)=0$ 这两个初始条件 ,

得到的 解 , 也就是 " 输出序列 " 也不同 ;

如果 " 线性常系数差分方程 " 的 " 初始条件 " 不确定 , 则其相应的 " 解 " 也不能确定 ;