数字信号处理线性常系数差分方程 ( “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 线性时不变系统 “ 关联 | 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 线性时不变系统方法 )

Posted 韩曙亮

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了数字信号处理线性常系数差分方程 ( “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 线性时不变系统 “ 关联 | 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 线性时不变系统方法 )相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

文章目录





一、" 线性常系数差分方程 " 与 " 线性时不变系统 " 关联



根据上一篇博客 【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( 使用递推解法求解 “ 线性常系数差分方程 “ | “ 线性常系数差分方程 “ 初始条件的重要性 ) 中 , 得出如下结论 :

  • " 线性常系数差分方程 " 所表示的 系统 , 不一定是 " 线性系统 " , 也不一定是 " 时不变系统 " ;
  • " 边界条件 " ( 初始条件 ) , 决定了 " 线性常系数差分方程 "" 线性时不变系统 " ( LTI 系统 ) 之间的关系 ;




二、根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定系统是否是 " 线性时不变系统 " 方法






1、线性时不变系统概念 ( 叠加性 | 不随着时间的变化而变化 )


回顾下线性时不变系统 :

线性时不变系统 , 简称 " LTI " , 英文全称 Linear time-invariant ;


线性 ( Linear ) : 线性的含义是 系统具有叠加性 , 给定 x 1 ( n ) x_1(n) x1(n) 序列 和 x 2 ( n ) x_2(n) x2(n) 序列 ,

2 2 2" 输入序列 " 之和 输出 T [ a x 1 ( n ) + b x 2 ( n ) ] T[ax_1(n) + bx_2(n)] T[ax1(n)+bx2(n)] ,

等于

2 2 2" 输入序列 " 输出 之和 a T [ x 1 ( n ) ] + b T [ x 2 ( n ) ] aT[x_1(n)] + bT[x_2(n)] aT[x1(n)]+bT[x2(n)] ;

T [ a x 1 ( n ) + b x 2 ( n ) ] = a T [ x 1 ( n ) ] + b T [ x 2 ( n ) ] = a y 1 ( n ) + b y 2 ( n ) T[ax_1(n) + bx_2(n)] = aT[x_1(n)] + bT[x_2(n)] = ay_1(n) + by_2(n) T[ax1(n)+bx2(n)]=aT[x1(n)]+bT[x2(n)]=ay1(n)+by2(n)

线性 概念 , 总结一下就是 系统具有 " 叠加性 "


时不变系统 ( time-invariant ) : 系统特性 , 不随着时间的变化而变化 ;

y ( n − m ) = T [ x ( n − m ) ] y(n - m) = T[x(n-m)] y(nm)=T[x(nm)]

输入延迟后 , 输出也随之延迟 ;

如 : 昨天输入 x ( n ) x(n) x(n) 序列得到的输出序列 , 与 今天输入 x ( n ) x(n) x(n) 序列得到的输出序列 , 是相同的 ; 系统特性 , 不随时间变化而变化 ;


线性时不变系统证明参考 :


2、证明方法



( 1 ) 根据概念证明


如果系统是 " 线性系统 " ,

先假设一个 " 输入序列 " δ ( n ) \\delta (n) δ(n) ,

再假设一个 " 输入序列 " δ ( n − 1 ) \\delta (n - 1) δ(n1) ,

最后假设一个 " 输入序列 " δ ( n ) + δ ( n − 1 ) \\delta (n) + \\delta (n - 1) δ(n)+δ(n1) ,

查看上述 3 3 3 种 " 输入序列 " 对应的 " 输出序列 " ;

  • " 初始条件 / 边界条件 " ,
  • " 线性常系数差分方程 "
  • " 输入序列 "

可以得到 " 输出序列 " ;

" 线性时不变 " 系统 , 满足 " 叠加性 " 和 " 不随着时间的变化而变化特性 " ;


( 2 ) 推导出通式


根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 推导出通式 , 然后通过该通式判断 系统是否是 " 线性时不变系统 " ;

以上是关于数字信号处理线性常系数差分方程 ( “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 线性时不变系统 “ 关联 | 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 线性时不变系统方法 )的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

数字信号处理线性常系数差分方程 ( 使用递推解法求解 “ 线性常系数差分方程 “ | “ 线性常系数差分方程 “ 初始条件的重要性 )

数字信号处理线性常系数差分方程 ( 线性常系数差分方程 与 边界条件 总结 ) ★★★

数字信号处理线性常系数差分方程 ( 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 “ 线性时不变系统 “ 案例 | 根据 “ 线性时不变系统 “ 定义证明 )

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