数字信号处理线性常系数差分方程 ( 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 “ 线性时不变系统 “ 案例 | 使用递推方法证明 )

Posted 2022-03-02 韩曙亮

文章目录

• 一、根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定系统是否是 " 线性时不变系统 " 案例
• • 1、使用递推方法证明
  • 2、证明线性
  • 3、证明时不变
  • • 先变换后移位
    • 先移位后变换
    • 时变系统结论

参考 【数字信号处理】线性常系数差分方程 ( “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 线性时不变系统 “ 关联 | 根据 “ 线性常系数差分方程 “ 与 “ 边界条件 “ 确定系统是否是 线性时不变系统方法 ) 中提出的方法 , 根据

• " 线性常系数差分方程 "
• " 边界条件 "

判断系统是否是 " 线性时不变系统 " ;

一、根据 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定系统是否是 " 线性时不变系统 " 案例

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线性常系数差分方程 :

$$y(n)-ay(n-1)=x(n)$$

边界条件 ( 初始条件 ) :

$$y(0)=0$$

分析该 " 线性常系数差分方程 " 与 " 边界条件 " 确定的系统 是否是 " 线性时不变系统 " ;

1、使用递推方法证明

假设 系统的 " 输入序列 " 为 :

$$x(n)$$

使用 " 线性常系数差分方程 " 递推运算 , 可以得到 :

$$y(n)=\sum _{i=1}^n{a}^{n-i}x(i)u(n-1)$$

2、证明线性

假设

$$x(n)=a{x}_1(n)+b{x}_2(n)$$

将 $y(n)={\sum }_{i=1}^n{a}^{n-i}x(i)u(n-1)$ 代入上述假设的 $x(n)$ 式子中 ;

计算过程如下 :

$$y(n)=\sum _{i=1}^n{a}^{n-i}x(i)u(n-1)$$

$$=\sum _{i=1}^n{a}^{n-i}[a{x}_1(n)+b{x}_2(n)]u(n-1)$$

$$=a{y}_1(n)+b{y}_2(n)$$

上述系统是 " 线性系统 " ;

3、证明时不变

" 输入序列 " 移动 $n_0$ , 开始计算 " 输出序列 " , 查看 修改前后 的 " 输出序列 " 是否相同 ;

先变换后移位

原始 " 输出序列 " :

$$y(n)=\sum _{i=1}^n{a}^{n-i}x(i)u(n-1)$$

移位后的 " 输出序列 " : 也就是 先 " 变换 " 后 " 移位 " ;

$$y(n-n_0)=\sum _{i=1}^{n-n_0}{a}^{n-n_0-i}x(i)u(n-n_0-1)$$

先移位后变换

原始 " 输入序列 " :

$$x(n)$$

移位后的 " 输入序列 " :

$$x(n-n_0)$$

先 " 移位 " 后 " 变换 " :

$$T[(n-n_0)]=\sum _{i=1}^n{a}^{n-i}x(i-n_0)u(n-1)$$

进行变量替换 , 假设 $i^{\prime }=i-n_0$ , 使用 $i=i^{\prime }+n_0$ 替换 $i$ ,

$$=\sum _{i=1-n_0}^{n-n_0}{a}^{n-n_0-i}x(i)u(n-1)$$

$$=\underset{i=1-n_0}{}$$

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