夜深人静写算法（三十七）- 威尔逊定理

Posted 2021-07-26 英雄哪里出来

文章目录

• 一、前言
• 二、威尔逊定理
• • 1、定义
  • 2、充分性
  • 3、必要性
• 三、威尔逊定理的应用
• • 1、广义情况
  • 2、配合素数判定
  • 3、配合逆元的应用
• 四、威尔逊定理相关题集整理

一、前言

  欧拉定理、费马小定理、中国剩余定理 我们都（假设）已经学会了。那么今天的这个定理，是非常重要的。因为只有学会了它，你才能凑齐数论四大定理。
  没错，这个定理考试不会考，ACM 基本很少遇到（遇到过三道题），LeetCode 上没有，面试官也不会问，它叫 威尔逊定理。所以建议这篇文章，能不看就不看，基本是在浪费时间。实在想看，我也不会阻拦。
  当然，无论有没有读者，我都会继续更新，因为我就是我，我只是单纯的想要凑齐数论 四大定理：欧拉定理、费马小定理、中国剩余定理、威尔逊定理。

二、威尔逊定理

1、定义

• $(p-1)!\equiv -1(modp)$ 是 $p$ 为素数 的 充分必要条件。

2、充分性

• 对于 $p$ 不是素数的情况，我们分成以下几种情况来讨论：
  
• 当 $p=1$ 时，直接带入，$(1-1)!\equiv 0(mod1)$；
• 当 $p=4$ 时，直接带入，$(4-1)!\equiv 2(mod4)$；
• 当 $p>4$ 时：

a）当 $p$ 是 完全平方数

• 则 $p=k^2$，由于 $p>4$，则 $k>2$；
• 然后，我们比较以下 $2k$ 和 $p$ 的大小，即：
• $$\begin{array}{rl}2k-p& =2k-k^2\\ & =2k-k^2-1+1\\ & =-(k-1{)}^2+1<0\end{array}$$
• 于是有 $k<p$，$2k<p$ 成立。
• $$\begin{array}{rl}(p-1)!& =1\times 2\times ...\times k\times ...\times 2k\times ...(p-1)\\ & =k\times 2k\times n\\ & =2n{k}^2\\ & =2np\end{array}$$
• 所以有：
• $$(p-1)!\equiv 0(modp)$$

b）当 $p$ 不是 完全平方数

• 那么，$p$ 必然等于两个完全不相等的数 $a$ 和 $b$ 的乘积，不妨设 $a<b$，则满足：
• $$1<a<b<p$$
• $$\begin{array}{rl}(p-1)!& =1\times 2\times ...\times a\times ...\times b\times ...(p-1)\\ & =a\times b\times n\\ & =nab\\ & =np\end{array}$$
• 所以有：
• $$(p-1)!\equiv 0(modp)$$

3、必要性

• 当 $p$ 为素数时，考虑二次剩余式：
• $$x^2\equiv 1(modp)$$
• 移项得到 $$x^2-1\equiv 0(modp)$$
• 分解因式得到：
• $$(x-1)(x+1)\equiv 0(modp)$$
• 从而可得：
• $x\equiv 1(modp)$ 或者 $x\equiv p-1(modp)$
• 那么我们抛开 $1$ 和 $p-1$ 这两个数不管，对于 $a\in [2,p-2]$，必然存在一个和它不相等的逆元 $a^{-1}\in [2,p-2]$，满足：
• $$a{a}^{-1}\equiv 1(modp)$$
• 所以必然有 ( p − 3 ) 2 \\frac {(p-3)} {2} 2(p−3)​以上是关于夜深人静写算法（三十七）- 威尔逊定理的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

  夜深人静写算法（三十三）- 扩展欧拉定理

  夜深人静写算法（三十二）- 费马小定理

  夜深人静写算法（三十九）- 卢卡斯定理

  夜深人静写算法（三十六）- 中国剩余定理

  夜深人静写算法（三十一）- 欧拉函数

  夜深人静写算法（三十四）- 逆元