夜深人静写算法（三十九）- 卢卡斯定理

Posted 2021-08-27 英雄哪里出来

tags:

篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了夜深人静写算法（三十九）- 卢卡斯定理相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

文章目录

一、前言
二、问题引入
- 1、递推公式
- 2、通项公式
三、卢卡斯定理
四、卢卡斯定理相关题集整理

一、前言

有人问我，你这些东西应该是你当时做 ACM 竞赛时候的东西了，现在都毕业十年了，为什么还在搞这些啊？公众号很赚钱吗？
我想说的是，《夜深人静写算法》这个公众号（暂时）不是为了赚钱。要不是因为情怀，我可能早就弃坑公众号了。
有时候，既然开始了，就一直做下去吧，不然当时为什么要开始呢？就像既然谈恋爱了，就一直爱下去吧，毕竟曾经爱过。既然无法逃离沉没成本的枷锁，就当记录自己逝去的青春吧。
这周要更新的内容，还是目前工作中对我来说，毫无用处的东西，纯粹是为了刷题爽，一直刷题一直爽的 卢卡斯定理。

二、问题引入

【例题1】给定 $\\le n \\le 10^9, 0 \\le m \\le n, 1 \\le p \\le 10^5)$ ，其中 $p$ 为素数，求 $C_n^m \\ mod \\ p$ 。

其中 $C_n^m$ 是组合数，即 $n$ 个不同的物品选择 $m$ 个的方案数。

1、递推公式

组合数满足递推公式如下：
$C_n^m = \\begin{cases}1 & m = 0 \\\\ 1 & m = n\\\\ C_{n-1}^{m-1} + C_{n-1}^{m} & 1 \\le m \\lt n\\end{cases}$
由于 $n$ 的值非常大，利用上述递推的时间复杂度为 $O (n m)$ ，所以无法满足该题的需求。

2、通项公式

组合数满足通项公式如下：
$C_n^m = \\frac {n!}{m!(n-m)!}$
由于要求的是模 $p$ ，所以可以引入逆元的概念，即：
$\\begin{aligned}C_n^m \\ mod \\ p &= \\frac {n!}{m!(n-m)!} \\ mod \\ p \\\\ &= n!(m!)^{-1}((n-m)!)^{-1} \\ mod \\ p\\end{aligned}$
可以通过 $O (n)$ 的时间复杂度计算 $\\ mod \\ p$ 和 $n!)^{-1} \\ mod \\ p$ ，然后还是因为 $n$ 太大，这个方法还是无法满足要求。

三、卢卡斯定理

1、定义

卢卡斯定理如下：
$C_n^m \\equiv C_{n/p}^{m/p} C_{n\\ mod \\ p}^{m\\ mod \\ p} (mod \\ p)$
其中 $p$ 为素数。

2、证明

在证明卢卡斯定理的时候，需要用到一些引理，接下里首先对引理进行证明。

1）引理1

【引理1】对于组合数 $C_p^i$ ，其中 $p$ 为素数，满足如下同余式成立： $C_p^i \\equiv 0 \\ (mod \\ p) \\ \\ \\ \\ (0 \\lt i \\lt p)$

这个引理的证明需要从组合数的定义公式出发，如下：
$C_p^i = \\frac {p!}{i! (p-i)!}$
由于 $\\lt i \\lt p$ ，且 $p$ 为素数，所以 $i!$ 和 $(p - i)!$ 都不可能是 $p$ 的因子。又因为组合数一定是一个整数，所以 $i! (p - i)!$ 一定是 $(p - 1)!$ 的因子，这样组合数就可以表示成：
$C_p^i = \\frac {(p-1)!}{i! (p-i)!}p = kp$
等式两边同时模上 $p$ ，得到：
$C_p^i \\equiv 0 \\ (mod \\ p) \\ \\ \\ \\ (0 \\lt i \\lt p)$