夜深人静写算法（三十一）- 欧拉函数

Posted 2021-05-21 英雄哪里出来

文章目录

• 一、前言
• 二、欧拉函数
• • 1、欧拉函数定义
  • • 1）素数
    • 2）素数的幂
    • 3）互素数的乘积
    • 4）一般情况
  • 2、欧拉定理
• 三、欧拉函数的求解
• • 1、素数试除法
  • • 1）算法原理
    • 2）算法实现
  • 2、筛选预处理
  • • 1）算法原理
    • 2）算法实现
• 四、欧拉函数的基础应用
• • 1、前缀和
  • 2、公式出发
  • 3、因子枚举
  • 4、欧拉定理
• 五、欧拉函数相关题集整理

一、前言

  数论的内容会比较干，所以看之前务必多喝几杯水！在阅读本文之前，如果对整除、互素、同余、算术基本定理、素数筛选、因子分解、辗转相除、扩展欧几里得 等概念不是很清楚，建议先阅读 夜深人静写算法（三）- 初等数论入门 。
  欧拉函数是初等数论中一个比较重要的概念，并且鼎鼎大名的 RSA 加密算法也用到了欧拉函数的性质。建议着重关注一些重要公式的推导过程，因为接下来我会持续写有关于数论的内容，如果中间有一节没有仔细看，可能就一路 gg 了，$goodluck$！

二、欧拉函数

1、欧拉函数定义

【定义1】对于正整数 $n$，欧拉函数是小于等于 $n$ 的正整数中与 $n$ 互素的数的个数，记为 $\varphi (n)$（其中 $\varphi (1)=1$）。

1）素数

• 对于素数 $p$ 而言，小于等于 $p$ 的数必然与它互素，所以互素的数的个数为 $p-1$ 。记为：
• $$\varphi (p)=p-1$$
• 素数 7 的欧拉函数如图二-1-1所示：
  图二-1-1
• 需要注意的是，欧拉函数是个值，不是一个集合。

2）素数的幂

• 当一个数 $n$ 等于素数 $p$ 的 $k$ 次幂时（即 $n=p^k$），任何小于等于 $n$ 且是 $p$ 的倍数的数都与 $n$ 有大于 $1$ 的最大公约数，那么剩下的就是和 $n$ 互素的数。有多少个 $p$ 的倍数是小于等于 $n$ 的呢？我们可以一个一个列出来：
• $$p,2p,3p,...,p^{k-1}\ast p$$
• 于是，肉眼就可以看出，和 $n=p^k$ 不互素的数总共有 $p^{k-1}$ 个，把这些数去掉就是互素的数了，这种情况下，欧拉函数表示如下：
• $$\varphi (p^k)=p^k-p^{k-1}$$
• 素数幂 4 的欧拉函数如图二-1-2所示：
  图二-1-2

3）互素数的乘积

• 对于两个互素的数的乘积，必然可以表示成如下形式：
• $$n=p^a{q}^b$$
• 其中 $p$ 和 $q$ 为两个不同的素数，并且满足 $a,b\ge 1$，用 $m(n,p)$ 来代表小于等于 $n$ 的数中 $p$ 的倍数的个数。则有：
• $$m(n,p)=p^{a-1}{q}^b$$
• $$m(n,q)=p^a{q}^{b-1}$$
• 并且我们发现 $m(n,p)$ 和 $m(n,q)$ 存在重叠的部分（既是 $p$ 的倍数，又是 $q$ 的倍数），即：
• $$m(n,pq)=p^{a-1}{q}^{b-1}$$
• 由于在小于等于 $n$ 的数中，只有四种数：
• 1）$p$ 的倍数但非 $q$ 的倍数；
• 2）$q$ 的倍数但非 $p$ 的倍数；
• 3）$pq$ 的公倍数；
• 4）和 $pq$ 互素的数（肯定也是和 $p^a{q}^b$ 互素的，所以这部分就是 $\varphi (n)$）；
• 如图二-1-3所示，两个小圆分别代表 $p$ 和 $q$ 的倍数，两圆相交的部分就是 $pq$ 的公倍数，剩下的就是和 $pq$ 互素的数了。这里用到了容斥原理，关于这个内容，后面还会开章节来具体讲述。
• 图二-1-3
• 所以有如下等式成立：
• $$n=m(n,p)+m(n,q)-m(n,pq)+\varphi (n)$$
• 移项后得到：
• $$\begin{array}{rl}\varphi (n)& =n-(m(n,p)+m(n,q)-m(n,pq))\\ & =n-m(n,p)-m(n,q)+m(n,pq)\\ & =p^a{p}^b-p^{a-1}{q}^b-p^a{q}^{b-1}+p^{a-1}{q}^{b-1}\\ & \\ & \end{array}$$