夜深人静写算法（三十六）- 中国剩余定理

Posted 2021-06-30 英雄哪里出来

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文章目录

• 一、前言
• 二、 物不知数
• • 1、引例
• 三、同余方程组
• • 1、不存在解
  • 2、存在无穷多解
• 四、朴素算法
• • 1、模数互素
  • 2、模数不互素
• 五、中国剩余定理
• • 1、算法详解
  • 2、算法综述
  • 3、算法实现
  • • 1）类设计
    • 2）求解过程
• 六、中国剩余定理相关题集整理

一、前言

  当初学这个算法，纯粹是因为她叫 —— * * 剩余定理（那两个字发出来竟然被判定违规了，阿这……）。所以我们只能叫它的另一个名字 —— 孙子定理。有兴趣的朋友可以自行百度它原本的名字。

二、 物不知数

1、引例

【例题1】有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二。问物几何？

• 这个问题是中国南北朝时期的数学著作《孙子算经》卷下第二十六题，叫做 “物不知数” 问题，这个问题翻译成现代文的意思是：一个整数除以三余二，除以五余三，除以七余二，求这个整数。
• 表示如下:
• $$(S):\{\begin{array}{l}x\equiv 2(mod3)\\ x\equiv 3(mod5)\\ x\equiv 2(mod7)\end{array}$$
• 由于每一行都是一个同余方程，其中 $x$ 是公共的未知数。
• 用这样的形式表示的我们称它为同余方程组，$S$ 就是这个同余方程组。
  

三、同余方程组

• 我们将同余方程表示成更加一般的形式，如下：
• $$(S):\{\begin{array}{ll}x& \equiv a_1(mod{m}_1)\\ x& \equiv a_2(mod{m}_2)\\ & ⋮\\ x& \equiv a_n(mod{m}_n)\end{array}$$
• 我们知道同余方程是可以表示成等式的形式的，那么同余方程组自然也可以，我们可以这么来表示：
• $$\begin{gathered} (S):\{\begin{array}{ll}x& =k_1{m}_1+a_1\\ x& =k_2{m}_2+a_2\\ & ⋮\\ x& =k_n{m}_n+a_n\end{array} \\ (k_i\in Z) \end{gathered}$$
• $n$ 个方程，$n+1$ 个未知数的情况下，解的情况可能存在，也可能不存在，存在的情只可能是无穷多解。

1、不存在解

• 这种情况比较好理解，当存在 $i$ 和 $j$，同时满足 $m_i=m_j$ 且 $a_i\ne a_j$ 时，解必然是不存在的。
• 因为任何一个数模另外一个数，得到的结果一定是确定的，不可能有两种结果。

2、存在无穷多解

• 一旦存在解，那么对于任意两个 $i$ 和 $j$，只要 $m_i=m_j$ ，必然满足 $a_i=a_j$，出现这种情况时，变量数和方程数同时减少。
• 换言之，未知数永远比方程数多 1，这样就一定有无穷多解了。

四、朴素算法

1、模数互素

• 朴素算法就是穷举，以 “物不知数” 问题为例，我们可以从零开始枚举 $x$ 的值。然后不断试除，看什么时候能够满足三个同余方程同时成立。
• $$(S):\{\begin{array}{l}x\equiv 2(mod3)\\ x\equiv 3(mod5)\\ x\equiv 2(mod7)\end{array}$$
• 代码实现如下：

#include <iostream>
using namespace std;

const int MAXN = 3;
int m[MAXN] = {3, 5, 7};
int a[MAXN] = {2, 3, 2};

int main() {
    for(int x = 0; x < 400; ++x) {      // (1)
        bool bfind = true;
        for(int i = 0; i < MAXN; ++i) { 
            if( x % m[i] != a[i] ) {    // (2)
                bfind = false;
                break;
            }
        }
        if(bfind) {
            printf("%d\\n", x);          // (3)
        }
    }	
    return 0;
} 

• $(1)$ 由于解有无数个，所以为了输出的时候能够观测到一些规律，我们只输出小于 400 的解。
• $(2)$ 对于每个 $(m_i,a_i)$ 的整数对，用枚举得到的 $x$ 进行试除，看能否整除，一旦不满足就跳出循环；
• ( 3 ) (3)

  以上是关于夜深人静写算法（三十六）- 中国剩余定理的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章

  《夜深人静写算法》数论篇 - (20) 中国剩余定理

  夜深人静写算法（三十三）- 扩展欧拉定理

  夜深人静写算法（三十二）- 费马小定理

  夜深人静写算法（三十九）- 卢卡斯定理

  夜深人静写算法（三十一）- 欧拉函数

  夜深人静写算法（三十四）- 逆元