夜深人静写算法（三十三）- 扩展欧拉定理

Posted 2021-06-11 英雄哪里出来

文章目录

• 一、前言
• 二、扩展欧拉定理
• • 1、欧拉定理的局限性
  • 2、扩展欧拉定理定义
  • 3、扩展欧拉定理证明
  • • 1）引理介绍
    • 2）定理证明
• 三、扩展欧拉定理的应用
• • 1、配合大数取余求解
  • 2、配合 DFS 递归求解
  • 3、配合矩阵求解
  • 4、配合统计求解
  • 5、配合循环节求解
• 四、扩展欧拉定理相关题集整理

一、前言

  最近做公众号，逐渐开始进入迷茫期，原因可能来自于对自己的期望太大吧。其实一开始写算法类的文章，只是为了记录下青春，让将来年迈的自己回头来看当年的自己也曾一腔热血，风华正茂，能有一两个读者赞同我写的内容也曾欣喜若狂。
  然而，随着读者不断增多，难免陷入众星捧月的怪圈之中无法自拔，对于现在技术公众号内卷严重，作者比读者还多的情况下，要做到独善其身，不忘初心 真的是一件难能可贵的事情。

二、扩展欧拉定理

• 今天要讲的这个定理，我在一般的初等数论书上没有找到，但是网上可以搜到，怀疑是一些牛逼的 OIer 或者 ACMer 总结出来的，这里再次膜拜一下各位大佬们，让我们这些后辈又可以多刷一些题了。
  
• 这个定理就是扩展欧拉定理，顾名思义，是对欧拉定理的一种扩展。学了这个定理以后，在解题过程中，你可以把 欧拉定理 和 费马小定理 都忘了，因为它已经完全包含了前面两者。

1、欧拉定理的局限性

• 我们知道欧拉定理的定义如下：

$n$ 和 $a$ 为正整数，且 $n$, $a$ 互素，即 $gcd(a,n)=1$，则：$$a^{\varphi (n)}\equiv 1(modn)$$

• 这个公式可以用来做幂运算的降幂操作，但是有个限制条件就是 $n$, $a$ 必须互素。那么，当 $n$, $a$ 不互素的时候，如何来做降幂呢？这时就需要用到【扩展欧拉定理】了。

2、扩展欧拉定理定义

【定义1】对于任意正整数 $a$,$b$,$c$，必定满足：$$a^{b}modc=\{\begin{array}{ll}{a}^{b}modc& b<\varphi (c)\\ a^{b\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{d}\varphi (c)+\varphi (c)}modc& b\ge \varphi (c)\end{array}$$

3、扩展欧拉定理证明

1）引理介绍

• 在定理证明之前，我们需要介绍一些证明扩展欧拉定理成立需要用到的前置知识点，就是所谓的引理。当然了，如果对证明没有兴趣，可以直接看第三部分的 扩展欧拉定理的应用。

【引理1】对于 $x\equiv y(modp)$ 和 $x\equiv y(modq)$ 同时成立，且满足 $p$ 和 $q$ 互素，那么有 $x\equiv y(modpq)$。

证明：

• 首先，$x\equiv y(modp)$ 的含义是 $(x-y)$ 是 $p$ 的倍数，表示成：
• $$(x-y)=k_{1}p$$
• 同理，有：
• $$(x-y)=k_{2}q$$
• 其中，$k_1$、$k_2$ 均为整数。
• 这里 $(x-y)$ 是 $p$ 的倍数，也是 $q$ 的倍数，所以它是 $p$ 和 $q$ 的公倍数，即 $lcm(p,q)$，又因为 $p$ 和 $q$ 互素，所以 $lcm(pq)=pq$，从而得到：
• $$x\equiv y(modpq)$$
  略带不屑的你

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【引理2】对于互素的两个数 $p$ 和 $q$，有 $\varphi (pq)=\varphi (p)\varphi (q)$ 成立。

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【引理3】（欧拉定理）$n$ 和 $a$ 为正整数，且 $n$, $a$ 互素，即 $gcd(a,n)=1$，则：$$a^{\varphi (n)}\equiv 1(modn)$$

证明：

• 对于【引理2】 和 【引理3】 的证明，可以参考以下文章：夜深人静写算法（三十一）- 欧拉函数。

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【引理4】对于素数的幂 $p^e$，必然有 $\varphi (p^e)\ge e$；

证明：

• 首先根据欧拉函数的性质，我们知道 $\varphi (p^e)=p^{e-1}(p-1)$，对于这个函数而言，$p$ 越大，值越大，所以我们取 $p$ 最小的情况，如果能够满足 $\varphi (p^e)\ge e$，那么对所有的 $p,e$ 就都能成立了。
• 令 $g(e)=p^{e-1}(p-1)-e$，当 $p=2$ 时，有 $g(e)=2^{e-1}-e$，很容易得到整函数随着 $e$ 的增大，$g(e)$ 会越来越大，所以必然可以满足 $2^{e-1}\ge e$；
• 从而，$\varphi (p^e)\ge e$ 得证。
  若有所思的你

2）定理证明

• 我们发现，当 b < ϕ ( c ) b < \\phi(c) b<ϕ夜深人静写算法（三十一）- 欧拉函数

  《夜深人静写算法》数论篇 - (15) 欧拉定理

  夜深人静写算法（三十七）- 威尔逊定理

  夜深人静写算法（三十二）- 费马小定理

  《夜深人静写算法》数论篇 - (16) 费马小定理

  同余|欧拉定理|费马小定理|扩展欧拉定理|扩展欧几里得算法