多项式05——多项式函数
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多项式函数与根
1、多项式函数
定
义
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义} }}
定义 设
f
(
x
)
=
a
0
x
n
+
a
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
n
,
f(x)=a_{0} x^{n}+a_{1} x^{n-1}+\\cdots+a_{n},
f(x)=a0xn+a1xn−1+⋯+an, 数
α
∈
F
\\alpha \\in F
α∈F，将
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的表示式里的
x
x
x 用
α
\\alpha
α 代替，得到
F
F
F中的数
a
0
α
n
+
a
1
α
n
−
1
+
⋯
+
a
n
a_{0} \\alpha^{n}+a_{1} \\alpha^{n-1}+\\cdots+a_{n}
a0αn+a1αn−1+⋯+an
称为当
x
=
α
x=\\alpha
x=α 时
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的值，记作
f
(
α
)
.
f(\\alpha) .
f(α).这样，对
F
F
F中的每一个数
α
\\alpha
α ，由多项式
f
(
x
)
f(x)
f(x) 确定
F
F
F中唯一的一个数
f
(
α
)
f(\\alpha)
f(α) 与之对应，于是称
f
(
x
)
f(x)
f(x) 为
F
F
F上的一个多项式函数.
易知，若 h 1 ( x ) = f ( x ) + g ( x ) , h 2 ( x ) = f ( x ) g ( x ) , h_{1}(x)=f(x)+g(x), \\quad h_{2}(x)=f(x) g(x), h1(x)=f(x)+g(x),h2(x)=f(x)g(x),则, h 1 ( α ) = f ( α ) + g ( α ) , h 2 ( α ) = f ( α ) g ( α ) \\quad h_{1}(\\alpha)=f(\\alpha)+g(\\alpha), \\quad h_{2}(\\alpha)=f(\\alpha) g(\\alpha) h1(α)=f(α)+g(α),h2(α)=f(α)g(α)
2、多项式函数的根(或零点)
若多项式函数
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在
x
=
α
x=\\alpha
x=α 处的值为0，即
f
(
α
)
=
0
f(\\alpha)=0
f(α)=0
则称
α
\\alpha
α 为
f
(
x
)
f(x)
f(x) 的一个根或零点.
注 : \\Large\\color{violet}{注 :} 注: 多项式的根与数域有关.
f ( x ) = x 2 + 1 f(x)=x^{2}+1 f(x)=x2+1 在 R \\mathbb{R} R 上没有根, 在 C \\mathbb{C} C 上有根 ± i . \\pm i . ±i.
多项式函数的有关性质
定 理 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定理1} }} 定理1 （余数定理）：用一次多项式 x − α x-\\alpha x−α 去除多项式 f ( x ) , f(x), f(x), 所得余式是一个常数，这个常数等于函数值 f ( α ) . f(\\alpha) . f(α).
设 f ( x ) ∈ F [ x ] , b ∈ F , f(x) \\in F[x], b \\in F, f(x)∈F[x],b∈F, 则存在唯一 的 g ( x ) ∈ F [ x ] g(x) \\in F[x] g(x)∈F[x], 使得 f ( x ) = ( x − b ) g ( x ) + f ( b ) f(x)=(x-b) g(x)+f(b) f(x)=(x−b)g(x)+f(b)
推 论 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{推论} }} 推论: α \\alpha α 是 f ( x ) f(x) f(x) 的根 ⇔ ( x − α ) ∣ f ( x ) \\Leftrightarrow(x-\\alpha) \\mid f(x) ⇔(x−α)∣f(x). ⇔ f ( α ) = 0. \\Leftrightarrow f (\\alpha) =0. ⇔f(α)=0.
综合除法：用以计算
f
(
x
)
=
q
(
x
)
(
x
−
α
)
+
r
f(x) =q(x)(x-\\alpha) +r
f(x)=q(x)(x−α)+r
设
f
(
x
)
f(x)
f(x) 是数域
F
F
F 上多项式,
b
b
b 是
F
F
F 上任意数.
f
(
x
)
=
a
n
x
n
+
a
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
a
1
x
+
a
0
=
(
x
−
b
)
(
b
n
−
1
x
n
−
1
+
⋯
+
b
1
x
+
b
0
)
+
f
(
b
)
\\begin{aligned} f(x) &=a_{n} x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+\\cdots+a_{1} x+a_{0} \\\\ &=(x-b)\\left(b_{n-1} x^{n-1}+\\cdots+b_{1} x+b_{0}\\right)+f(b) \\end{aligned}
f(x)=anxn+an−1xn−1+⋯+a1x+a0=(x−b)(b多项式04——标准分解式