多项式03——最大公因式与互素

Posted 2021-06-15 炫云云

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了多项式03——最大公因式与互素相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

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最大公因式

$\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义} }}$ 设 $\\in F[x],$ 如果

(1) $\\mid f(x)$ 且 $\\mid g(x)$ ,则称 $d (x)$ 是 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的公因式.

(2) 若 $\\mid f(x)$ 且 $\\mid g(x),$ 则 $\\mid d(x) .$

则称 $d (x)$ 是 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的 $\\large\\color{#70f3ff}{\\boxed{\\color{green}{最大公因式}}}$ .(次数最高)

$\\Large\\color{violet}{注 :}$ 设 $d(x), d_{1}(x)$ 是 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的最大公因式, 则由 $\\mid d_{1}(x)$ 且 $d_{1}(x) \\mid d(x),$ 故 $d(x), d_{1}(x)$ 相伴.

$f (x), g (x)$ 的首项系数为1的最大公因式记作 $: (f (x), g (x))$ .
$\\forall f(x) \\in P[x], f(x)$ 是 $f (x)$ 与零多项式0的最大公因式.
两个零多项式的最大公因式为0.

若 $f (x), g (x)$ 不全为零，则 $\\neq 0 .$
最大公因式不是唯一的，但首项系数为1的最大公因式是唯一的.

$\\left(\\right.$ 若 $d_{1}(x), d_{2}(x)$ 为 $f (x) 、 g (x)$ 的最大公因式, 则 $d_{1}(x)=\\mathbf{c} d_{2}(x),$ c为非零常数. $）$

$\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{引理} }}$ 设 $\\in F[x] .$ 对任意 $\\in F[x],$ 成立
$(f (x), g (x)) = (f (x) + l (x) g (x), g (x))$
【证明】设 $(f (x), g (x)) = d (x) .$ 要证 $d (x) = (f (x) + l (x) g (x), g (x)) .$

事实上, 因 $d (x) ∣ f (x), d (x) ∣ g (x),$ 则 $\\mid f(x)+l(x) g(x)$ .

若 $\\mid g(x)$ 且 $\\mid f(x)+l(x) g(x),$ 则 $\\mid f(x),$ 进而 $\\mid d(x),$ 由定义 $, d (x) = (f (x) + l (x) g (x), g (x)) .$

$\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{引理} }}$ 若等式 $g(x)+r(x)_{\\text { }}$