算法复杂性分界函数—多项式

Posted 2021-01-10 zhangzefei

以多项式作为分界函数？

一、常见算法大致分为两类：

　　一类是多项式时间内可实现的

　　另一类需要指数时间（O(cⁿ)）

　　

二、多项式时间算法与计算模型无关

　　算法的研究依赖于计算模型。在不同类型计算模型上实现算法，计算时间不同。

　　广义Church-Turing命题：不同计算模型上的计算时间有多项式时间关系。

　　多项式与多项式的复合函数是多项式，因此，多项式算法与计算模型无关。

问题分类

一、判定问题

　　解只有两种，yes或no

　　例：给定图G=(V,E)，问该图是否有哈密尔顿圈。

二、优化问题

　　例：给定图G=(V,E)，假设边的费用为自然数。求改图的最短哈密尔顿回路。

三、问题转换

　　优化问题可转换为相应的判定问题求解。

是否所有的难解问题通过并行计算使其在多项式内可解？

　　关于并行算法：当将一个问题分解到多个处理器上解决时，由于算法中不可避免地存在必须串行的操作，从而大大地限制了并行计算机系统的加速能力。

　　阿达尔定律：串行执行操作仅占全部操作1%，解题速度最多只能提高一百倍。

　　阿达尔定律告诉我们，对于有些难解问题，即使提高计算机运行速度，也不能在多项式时间内验证。即并非所有的难解问题都属于NP类。如，汉诺塔问题：推测阶段给出一种盘子移动方法；验证阶段需要2ⁿ步验证该解的正确性。

P类和NP类问题的差别

主要差别在于：

　　P类问题可以用多项式时间的确定性算法进行判定或求解。

　　NP类问题可以用多项式时间的确定性算法来验证它的解。

结论：

　　P?NP

猜测：

　　NP≠P？

解决NP=P？的途径

　　解决这个猜想，有两种可能：

　　一种是找到一个这样的算法，只要针对某个特定NP完全问题找到一个多项式算法，即可证明NP=P。

　　另一种可能，就是这样的算法是不存在的。需要从数学理论上证明它为什么不存在。

NP完全问题的近似解法

• 使用动态规划、回溯法或分支限界法求解
• 使用概率算法求解
• 使用启发式算法求解：遗传算法、模拟退火