❤️一文搞懂算法时间复杂度❤️

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了❤️一文搞懂算法时间复杂度❤️相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

文章目录

一、前言

  很多人觉得算法难，是因为被困在了时间和空间这两个维度上。如果不考虑时间和空间的因素，其实我们可以把所有问题都通过穷举解决，也就是你告诉计算机你要做什么，然后通过它强大的算力帮你计算。
  今天，我就和大家来聊一下时间复杂度。在这里插入图片描述

二、穷举

1、小试牛刀

  • 所谓穷举，也就是我们通常所说的枚举，就是把所有情况都遍历了的意思。举个最简单的例子：

【例1】给定 n ( n ≤ 1000 ) n(n \\le 1000) n(n≤1000) 个元素 a i a_i ai​，求其中是偶数的数的个数。

  • 判断一个数是偶数还是奇数，只需要求它除上 2 的余数是 0 还是 1，那么我们把所有数都判断一遍，并且对符合条件的情况进行计数，最后返回这个计数器就是答案，这里需要遍历所有的数，这就是穷举。如图二-1-1所示：
    图二-1-1
  • c++ 代码实现如下：
int countEven(int n, int a[]) {
    int cnt = 0;
    for(int i = 0; i < n; ++i) {
        if(a[i] % 2 == 0)
            ++cnt;
    }
    return cnt;
}

在这里插入图片描述

略带不屑的你

2、乘胜追击

  • 经过上面的例子，相信读者对穷举已经有一定的理解，那么我们来看看稍微复杂一点的情况。

【例2】给定 n ( n ≤ 1000 ) n(n \\le 1000) n(n≤1000) 个元素 a i a_i ai​，求有多少个二元组 ( i , j ) (i,j) (i,j)，满足 a i + a j a_i + a_j ai​+aj​ 是偶数 ( i < j ) (i \\lt j) (i<j)。

  • 秉承穷举的思想，并且这里需要两个变量 i i i 和 j j j，所以可以枚举 a i a_i ai​ 和 a j a_j aj​，再对 a i + a j a_i + a_j ai​+aj​ 进行奇偶性判断，所以很快设计出一个利用穷举的算法。如图二-2-1所示：
    图二-2-1
  • c++ 代码实现如下：
int countEvenPair(int n, int a[]) {
    int cnt = 0;
    for(i = 0; i < n; ++i) {
        for(j = i+1; j < n; ++j) {
            if( (a[i] + a[j]) % 2 == 0)
                ++cnt;
        }
    }
    return cnt;
}

若有所思的你

3、举一反三

  • 经过这两个例子，是不是对穷举已经有点感觉了？那么，我们继续来看下一个例子。

【例3】给定 n ( n ≤ 1000 ) n(n \\le 1000) n(n≤1000) 个元素 a i a_i ai​，求有多少个三元组 ( i , j , k ) (i,j,k) (i,j,k)，满足 a i + a j + a k a_i + a_j + a_k ai​+aj​+ak​ 是偶数 ( i < j < k ) (i \\lt j \\lt k) (i<j<k)。

  • 给 10 秒倒计时，思考一下！
    在这里插入图片描述
    图二-3-1
  • 相信聪明的你也已经猜到了，直接给出代码：
int countEvenTriple(int n, int a[]) {
    int cnt = 0;
    for(i = 0; i < n; ++i) {
        for(j = i+1; j < n; ++j) {
            for(int k = j+1; k < n; ++k) {
                if( (a[i] + a[j] + a[k]) % 2 == 0)
                    ++cnt;
            }
        }
    }
    return cnt;
}
  • 要求多少个元组，就是枚举多少层循环。
    完全懂了的你

4、返璞归真

【例4】给定 n ( n ≤ 1000 ) n(n \\le 1000) n(n≤1000) 个元素 a i a_i ai​ 和一个整数 k ( k ≤ n ) k (k \\le n) k(k≤n)，求有多少个有序 k k k 元组，满足 它们的和 是偶数。

  • 一层循环，两层循环，三层循环， k k k 层循环？
  • 我们需要根据 k k k 的不同，决定写几层循环， k k k 的最大值为 1000，也就意味着我们要写 1000 的 i f   e l s e if \\ else if else。
  • 显然，这样是无法接受，比较暴力的做法是采用到递归，c++ 代码实现如下：
int dfs(int n, int a[], int start, int k, int sum) {
    if(k == 0)
        return sum % 2 ? 0 : 1;               // (1)
    int s = 0; 
    for(int i = start; i < n; ++i)
        s += dfs(n, a, i+1, k-1, sum + a[i]); // (2)
    return s;
}

"啊这…" 的你

  • 1）dfs(int n, int a[], int start, int k, int sum)这个函数的含义是：给定 n n n 元素的数组 a [ ] a[] a[]，从下标 s t a r t start start 开始，选择 k k k 个元素，得到的和为 s u m sum sum 的情况下的方案数，当 k = 0 k=0 k=0 时代表的是递归的出口；
  • 2）当前第 i i i 元素选择以后，剩下就是从 i + 1 i+1 i+1 个元素开始选择 k − 1 k-1 k−1 个的情况，递归求解。
  • 我们简单分析一下， n n n 个元素选择 k k k 个，根据排列组合，方案数为： C n k C_n^k Cnk​，当 n = 1000 ， k = 500 n=1000，k=500 n=1000，k=500 时已经是天文数字，这段代码是完全出不了解的。

当然，对于初学者来说，这段代码如果不理解，问题也不大，只是为了说明穷举这个思想。

充满求知欲的你

三、时间复杂度

1、时间复杂度的表示法

1、时间函数

  • 时间复杂度往往会联系到一个函数，自变量表示规模，应变量表示执行时间。
  • 这里所说的执行时间，是指广义的时间，也就是单位并不是 “秒”、“毫秒” 这些时间单位，它代表的是一个 “执行次数” 的概念。我们用 f ( n ) f(n) f(n) 来表示这个时间函数。

2、经典函数举例

  • 在【例1】中，我们接触到了单层循环，这里的 n n n 是一个变量，随着 n n n 的增大，执行次数增大，执行时间就会增加，所以就有了时间函数的表示法如下：
  • f ( n ) = n f(n) = n f(n)=n
    在这里插入图片描述
    图三-2-1
  • 这个就是最经典的线性时间函数。
  • 在【例2】中，我们接触到了双层循环，它的时间函数表示法如下：
  • f ( n ) = n ( n − 1 ) 2 f(n) = \\frac {n(n-1)} 2 f(n)=2n(n−1)​
    在这里插入图片描述
    图三-2-2
  • 这是一个平方级别的时间函数。
  • 在【例3】中，我们接触到了三层循环，它的时间函数表示法如下：
  • f ( n ) = n ( n − 1 ) ( n − 2 ) 6 f(n) = \\frac {n(n-1)(n-2)} 6 f(n)=6n(n−1)(n−2)​
    在这里插入图片描述
    图三-2-3
  • 这是一个立方级别的时间函数。

3、时间复杂度