多项式04——标准分解式
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了多项式04——标准分解式相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
不可约多项式
定
义
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义} }}
定义设
f
(
x
)
∈
F
[
x
]
,
deg
f
(
x
)
>
0.
f(x) \\in F[x], \\operatorname{deg} f(x)>0 .
f(x)∈F[x],degf(x)>0. 若存在
g
(
x
)
,
h
(
x
)
∈
F
[
x
]
,
使得
f
(
x
)
=
g
(
x
)
h
(
x
)
g(x), h(x) \\in F[x], \\text { 使得 } f(x)=g(x) h(x)
g(x),h(x)∈F[x], 使得 f(x)=g(x)h(x)
其中
deg
g
(
x
)
<
deg
f
(
x
)
\\operatorname{deg} g(x)<\\operatorname{deg} f(x)
degg(x)<degf(x) 且
deg
h
(
x
)
<
deg
f
(
x
)
\\operatorname{deg} h(x)<\\operatorname{deg} f(x)
degh(x)<degf(x) .则称
f
(
x
)
f(x)
f(x) 在F上可约, 否则
f
(
x
)
f(x)
f(x) 为不可约多项式.
注 : \\Large\\color{violet}{注 :} 注:多项式的不可约与数域有关;一次多项式都是不可约多项式。
命 题 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{命题1} }} 命题1 若 p ( x ) p(x) p(x) 是不可约多项式，则只有c ∣ p ( x ) \\mid p(x) ∣p(x) 和 c p ( x ) ∣ p ( x ) c p(x) \\mid p(x) cp(x)∣p(x),其中 c ∈ F , c \\in \\boldsymbol{F}, \\quad c∈F, 且 c ≠ 0 c \\neq 0 c=0
命 题 2 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{命题2} }} 命题2 设 f ( x ) , p ( x ) ∈ F [ x ] f(x), p(x) \\in F[x] f(x),p(x)∈F[x] 且 p ( x ) p(x) p(x) 是不可约多项式,则 p ( x ) ∣ f ( x ) p(x) \\mid f(x) p(x)∣f(x) 或 ( p ( x ) , f ( x ) ) = 1. (p(x), f(x))=1 . (p(x),f(x))=1.
【证明】设
(
p
(
x
)
,
f
(
x
)
)
=
d
(
x
)
,
(p(x), f(x))=d(x),
(p(x),f(x))=d(x), 则
d
(
x
)
∣
p
(
x
)
.
d(x) \\mid p(x) .
d(x)∣p(x).
又因为
p
(
x
)
p(x)
p(x) 是不可约多项式,所以
d
(
x
)
=
1
d(x)=1
d(x)=1 或
d
(
x
)
=
c
p
(
x
)
d(x) = cp(x)
d(x)=cp(x).
这里
c
−
1
c^{-1}
c−1 为
p
(
x
)
p(x)
p(x) 的首项系数.
若
d
(
x
)
=
c
p
(
x
)
,
d(x)=c p(x),
d(x)=cp(x), 则
p
(
x
)
∣
f
(
x
)
p(x) \\mid f(x)
p(x)∣f(x)
性 质 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{性质} }} 性质 设 p ( x ) p(x) p(x) 为数域 F \\boldsymbol{F} F 上的次数大于零的多项式。若 p ( x ) p(x) p(x) 对任意 多项式 f ( x ) f(x) f(x) 有 p ( x ) ∣ f ( x ) p(x) \\mid f(x) p(x)∣f(x) 或 ( p ( x ) , f ( x ) ) = 1 , (p(x), f(x))=1, (p(x),f(x))=1, 则 p ( x ) p(x) p(x) 是数域 F \\boldsymbol{F} F 上的不 可约多项式。
命
题
3
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{命题3} }}
命题3 设
p
(
x
)
,
f
(
x
)
,
g
(
x
)
∈
F
[
x
]
,
p
(
x
)
p(x), f(x), g(x) \\in F[x], p(x)
p(x),f(x),g(x)∈F[x],p(x) 是不可约多项式, 且
p
(
x
)
∣
f
(
x
)
g
(
x
)
,
p(x) \\mid f(x) g(x),
p(x)∣f(x)g(x), 则或
p
(
x
)
∣
f
(
x
)
p(x) \\mid f(x)
p(x)∣f(x)
或
p
(
x
)
∣
g
(
x
)
p(x) \\mid g(x)
p(x)∣g(x).
【证明】若
p
(
x
)
p(x)
p(x) 不整除
f
(
x
)
,
f(x),
f(x), 因为
p
(
x
)
p(x)
p(x) 不可约,则
(
f
(
x
)
,
p
(
x
)
)
=
1
(f(x), p(x))=1
(f(x),p(x))=1
又因为
p
(
x
)
∣
f
(
x
)
g
(
x
)
p(x) \\mid f(x) g(x)
p(x)∣f(x)g(x),由互素多项式的性质知
p
(
x
)
∣
g
(
x
)
.
p(x) \\mid g(x) .
p(x)∣g(x).
性 质 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{性质} }} 性质 设 p ( x ) p(x) p(x) 为数域 F \\boldsymbol{F} F 上的次数大于零的多项式。若对任意两个多项式 f ( x ) f(x) f(x) 和 g ( x ) , g(x), g(x), 当 p ( x ) ∣ f ( x ) g ( x ) p(x) \\mid f(x) g(x) p(x)∣f(x)g(x) 时必有 p ( x ) ∣ f ( x ) p(x) \\mid f(x) p(x)∣f(x) 或者 p ( x ) ∣ g ( x ) , p(x) \\mid g(x), p(x)∣g(x), 则 p ( x ) p(x) p(x) 一定是数域 F \\boldsymbol{F} F 上的不可约多项式。
推 论 1 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{推论1} }} 推论以上是关于多项式04——标准分解式的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章