多项式07——有理系数和整系数多项式

Posted 2021-06-15 炫云云

文章目录

• • 整系数多项式
  • • 埃森斯坦判别法
    • 例1
    • 例2
    • 整系数多项式的有理根
    • 例 3
  • 参考资料

1. 多项式01——一元多项式和运算
2. 多项式02——整除
3. 多项式03——最大公因式与互素
4. 多项式04——标准分解式
5. 多项式05——多项式函数
6. 多项式07——有理系数和整系数多项式

整系数多项式

设 $f(x)\in \mathbb{Q}[x].$ 记 $f(x)$ 的系数的公分母为 $d,$ 则 $df(x)$为整系数多项式.

所以, 本节讨论整系数多项式. 类似于数域上的可约多项式的定义, 若$n$次 $(n>1)$ 整系数多项式 $f(x)$可表示为 $f(x)=g(x)h(x),$ 其中 $g(x),h(x)$ 都是整系数多项式, $\mathrm{deg}g(x)<\mathrm{deg}f(x),\mathrm{degh}(x)<\mathrm{deg}f(x)$，则称 $f(x)$ 在整数上可约, 否则称 $f(x)$ 在整数上不可约.

$\boxed{定义}$设 $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$ 是整系数多项式, 若 $a_n,a_{n-1},\cdots ,a_0$ 的最大公因数是1, 则称 $f(x)$ 为$\boxed{本原多项式}$.:

即若非零整系数多项式 $f(x)$ 的系数互素，则称 $f(x)$ 是一个本原多项式。

$注1$ 任给有理系数多项式 $f(x),$ 都存在一个有理数 $a$ 及一个本原多项式 $g(x),$ 使得 $f(x)=cg(x)$

$\boxed{引理}$ (Gauss引理) 两个本原多项式之积是本原多项式.

【证明】 设 $f(x)=a_n{x}^n+a_{n-1}{x}^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_0$
$$g(x)=b_m{x}^m+b_{m-1}{x}^{m-1}+\cdots +b_{1}x+b_0$$
是两个本原多项式. 若
$$f(x)g(x)=c_{m+n}{x}^{m+n}+c_{m+n-1}{x}^{m+n-1}+\cdots +c_{1}x+c_0$$
不是本原多项式, 则 $c_0,c_1,\cdots ,c_{m+n}$ 必有一个公共的素因子p.

因 $c_0=a_0{b}_0,$ 故 $p\mid a_0$ 或 $p\mid b_0.$ 不妨设 $p\mid a_0$. 又因为 $f(x)$ 是本原多项式, $p$ 不能整除所有
$a_i(i=$

多项式05——多项式函数

多项式01——一元多项式和运算

多项式03——最大公因式与互素

有理多项式数组的编译错误

多项式的系数怎么求