线性代数37—— 二次型及其矩阵表示
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了线性代数37—— 二次型及其矩阵表示相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
1.二次型的概念
二次型的意义
中心与坐标原点重合的二次曲线
f
=
a
x
2
+
2
b
x
y
+
c
y
2
\\quad f=a x^{2}+2 b x y+c y^{2}
f=ax2+2bxy+cy2 ,作如下的变换：
x
=
x
′
cos
θ
−
y
′
sin
θ
y
=
x
′
cos
θ
+
y
′
sin
θ
\\begin{array}{l} \\begin{array}{l} x=x^{\\prime} \\cos \\theta-y^{\\prime} \\sin \\theta \\\\ y=x^{\\prime} \\cos \\theta+y^{\\prime} \\sin \\theta \\end{array} \\\\ \\end{array}
x=x′cosθ−y′sinθy=x′cosθ+y′sinθ
得到：
f
=
a
′
x
′
2
+
c
′
y
′
2
\\qquad f=a^{\\prime} x^{\\prime 2}+c^{\\prime} y^{\\prime 2}
f=a′x′2+c′y′2
二次型的概念
定
义
1
\\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义1} }}
定义1 数域F上的n元二次齐次多项式
f
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
=
a
11
x
1
2
+
2
a
12
x
1
x
2
+
⋯
+
2
a
1
n
x
1
x
n
+
a
22
x
2
2
+
⋯
⋯
+
2
a
2
n
x
2
x
n
+
a
33
x
3
2
+
⋯
+
2
a
3
n
x
3
x
n
+
⋯
⋯
⋯
+
a
n
n
x
n
2
(1)
\\begin{array}{r} f\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right)=a_{11} x_{1}^{2}+2 a_{12} x_{1} x_{2}+\\cdots+2 a_{1 n} x_{1} x_{n} \\\\ +a_{22} x_{2}^{2}+\\cdots \\cdots+2 a_{2 n} x_{2} x_{n} \\\\ +a_{33} x_{3}^{2}+\\cdots+2 a_{3 n} x_{3} x_{n} \\\\ +\\cdots \\cdots \\cdots \\\\ +a_{n n} x_{n}^{2} \\end{array}\\tag{1}
f(x1,x2,⋯,xn)=a11x12+2a12x1x2+⋯+2a1nx1xn+a22x22+⋯⋯+2a2nx2xn+a33x32+⋯+2a3nx3xn+⋯⋯⋯+annxn2(1)
称为n元二次型,简称为二次型.
- 若 a i j a_{ij} aij 为复数，称为复二次型;
- 若 a i j a_{ij} aij 为实数，称为实二次型.
二次型的表达式也可写作：
f
(
x
1
,
x
2
,
⋯
,
x
n
)
=
∑
i
=
1
n
a
i
i
x
i
2
+
2
∑
1
≤
i
<
j
≤
n
a
i
j
x
i
x
j
(2)
f\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right)=\\sum_{i=1}^{n} a_{i i} x_{i}^{2}+2 \\sum_{1 \\leq i<j \\leq n} a_{i j} x_{i} x_{j}\\tag{2}
f(x1,x2,⋯,xn)=i=1∑naiixi2+21≤i<j≤n∑aijxixj(2)
二次型的矩阵表示
令
a
i
j
=
a
j
i
,
(
i
,
j
=
1
,
2
,
…
，
n
)
a_{ij}=a_{ji},(i,j =1,2,…，n)
aij=aji,(i,j=1,2,…，n) 以上是关于线性代数37—— 二次型及其矩阵表示的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章 机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（19）：二次型及其标准形
f
(
x
)
=
a
11
x
1
2
+
a
12
x
1
x
2
+
a
13
x
1
x
3
+
⋯
+
a
1
n
x
1
x
n
+
a
21
x
1
x
2
+
a
22
x
2
2
+
a
23
x
2
x
3
+
⋯
+
a
2
n
x
2
x
n
+
⋯
⋯
⋯
a
n
1
x