线性代数40—— 正定二次型
Posted 炫云云
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了线性代数40—— 正定二次型相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
1、二次型的分类
二次型可通过非退化线性替换互化，因此，能互化的二次型必有相同的规范形，因此实（复）二次型可根据规范形分类.
1、复二次型的分类：
复n元二次型的规范形只与秩有关，而 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛 0 ≤ 𝑟 ≤ 𝑛 0≤r≤n，因此：复二次型可分为n+1类.
2、实二次型的分类：
实n元二次型的规范形与秩和正惯性指数有关,
r
=
0
,
r=0,
r=0, 有一种情况
r
=
s
,
p
=
0
,
1
⋯
s
r=s, \\quad p=0,1 \\cdots s
r=s,p=0,1⋯s 有
s
+
1
s+1
s+1 种情况 ，
(
s
=
1
,
⋯
n
)
(s=1, \\cdots n)
(s=1,⋯n) 。
综上所述：实n元二次型可分为 ( n + 1 ) ( n + 2 ) 2 \\frac{(n+1)(n+2)}{2} 2(n+1)(n+2) 类.
2、正定二次型
f ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) = x 1 2 + x 2 2 + . . . , x n 2 f (x_1, x_2 , ...,x_n)=x_1^2+ x_2^2+ ...,x_n^2 f(x1,x2,...,xn)=x12+x22+...,xn2
, ∀ ( a 1 , a 2 , . . , a n ) ≠ 0 , a i ∈ R , \\forall (a_1,a_2,..,a_n)≠0, a_i ∈R, ∀(a1,a2,..,an)=0,ai∈R, f ( a 1 , a 2 , . . , a n ) = a 1 2 + a 2 2 + . . . , a n 2 > 0 f (a_1,a_2,..,a_n)=a_1^2+ a_2^2+ ...,a_n^2>0 f(a1,a2,..,an)=a12+a22+...,an2>0
定 义 \\large\\color{magenta}{\\boxed{\\color{brown}{定义} }} 定义 ：实二次型 f ( X ) f(X) f(X) 若对任意不全为零的实数 c 1 , c 2 , ⋯ c n , c_{1}, c_{2}, \\cdots c_{n}, c1,c2,⋯cn, 都有： f ( c 1 , c 2 , ⋯ c n ) > 0 , f\\left(c_{1}, c_{2}, \\cdots c_{n}\\right)>0, f(c1,c2,⋯cn)>0, 则称 f ( X ) f(X) f(X) 为正定二次型. f ( X ) f(X) f(X)的矩阵 A A A称为正定矩阵.
即，如果任一非零实向量 X = ( x 1 , x 2 , . . . , x n ) T X=(x_1, x_2 , ...,x_n)^T X=(x1,x2,...,xn)T都有 f ( X ) = X T A X > 0 f\\left(X\\right)=X^{T} A X>0 f(X)=XTAX>0，则称实二次型 f ( X ) f(X) f(X)为正定二次型。
如, 二次型 f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ∑ i = 1 n x i 2 f\\left(x_{1}, x_{2}, \\ldots, x_{n}\\right)=\\sum_{i=1}^{n} x_{i}^{2} f(x1,x2,…,xn)=∑i=1nxi2 是正定的.但二次型 f ( x 1 , x 2 , … , x n ) = ∑ i = 1 n − 1 x i 2 f\\left(x_{1}, x_{2}, \\ldots, x_{n}\\right)=\\sum_{i=1}^{n-1} x_{i}^{2} f(x1,x2,…,xn)=∑i=1n−1xi2 不是正定的.
正定矩阵 A A A首先是一个实对称矩阵.
- A , B A,B A,B都是n阶正定矩阵. k A + l B kA+lB kA+lB也是正定矩阵 ( k > 0 , l > 0 ) (k >0,l > 0) (k>0,l>0).
- 设 P P P是可逆矩阵, A = P T P , A A= P^TP,A A=PTP,A是正定矩阵.
3、正定二次型的性质
1 ) 实二次 型 f ( x 1 , x 2 , ⋯ , x n ) = d 1 x 1 2 + d 2 x 2 2 + ⋯ + d n x n 2 f\\left(x_{1}, x_{2}, \\cdots, x_{n}\\right)=d_{1} x_{1}^{2}+d_{2} x_{2}^{2}+\\cdots+d_{n} x_{n}^{2} f(x1,x2,⋯,x线性代数14：正定二次型