机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（19）：二次型及其标准形

Posted 2021-10-18 海轰Pro

目录

• 前言
• 往期文章
• 5.5 二次型及其标准形
• • 定义8：二次型
  • 定义9：合同
  • 定理8
  • 推论
  • 举例
  • • 例14
• 结语

前言

Hello！小伙伴！
非常感谢您阅读海轰的文章，倘若文中有错误的地方，欢迎您指出～
 
自我介绍 ଘ(੭ˊᵕˋ)੭
昵称：海轰
标签：程序猿｜C++选手｜学生
简介：因C语言结识编程，随后转入计算机专业，有幸拿过一些国奖、省奖…已保研。目前正在学习C++/Linux/Python
学习经验：扎实基础 + 多做笔记 + 多敲代码 + 多思考 + 学好英语！
 
机器学习小白阶段
文章仅作为自己的学习笔记 用于知识体系建立以及复习
知其然 知其所以然！

往期文章

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（1）：二阶与三阶行列式、全排列及其逆序数

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（2）：n阶行列式、对换

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（3）：行列式的性质

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（4）：行列式按行（列）展开

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（5）：克拉默法则

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（6）：矩阵的运算

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（7）：逆矩阵

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（8）：矩阵的初等变换

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（9）：矩阵的秩、线性方程组的解

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（10）：向量组及其线性组合

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（11）：向量组的线性相关性

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（12）：向量组的秩

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（13）：线性方程组的解的结构

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（14）：向量空间

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（15）：向量的内积、长度及正交性

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（16）：方阵的特征值与特征向量

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（17）：相似矩阵

【机器学习｜数学基础】Mathematics for Machine Learning系列之线性代数（18）：对称矩阵的对角化

5.5 二次型及其标准形

定义8：二次型

含有$n$个变量$x_1,x_2,...,x_n$的二次齐次函数

$$f(x_1,x_2,...,x_n)=a_{11}{x}_1^2+a_{22}{x}_2^2+....+a_{nn}{x}_n^2+2a_{12}{x}_1{x}_2+2a_{13}{x}_1{x}_3+....+2a_{n-1,n}{x}_{n-1}{x}_n$$

称为二次型

$f$中的每一项的次数都是2称为二次齐次函数 比如$x_1^2,x_1{x}_2....$

---

取$a_{ji}=a_{ij}$，则有

$$2a_{ij}{x}_i{x}_j=a_{ij}{x}_i{x}_j+a_{ji}{x}_j{x}_i$$

所以

f = a 11 x 1 2 + a 12 x 1 x 2 + . . . + a 1 n x 1 x n + a 21 x 2 x 1 + a 22 x 2 2 + . . . + a 2 n x 2 x n + . . . + a n 1 x n x 1 + a n 2 x n x 2 + . . . . + a n n x n 2 = ∑ i , j = 1 n a i j x i x j f=a_{11}x_1^2+a_{12}x_1x_2+...+a_{1n}x_1x_n+a_{21}x_2x_1+a_{22}x_2^2+...+a_{2n}x_2x_n+...+a_{n1}x_nx_1+a_{n2}x_nx_2+....+a_{nn}x_n^2=\\sum^n_{i,j=1}a_{ij}x_ix_j f=a11​x12​+a12​x1​x2​+...+a1n​x1​xn​+a21​x2​x1​+a22​x22​+...+a2n​x2​xn​+...+an1​xn​x1​+an2​xn​x2​+....+ann​xn2​=i,j=1∑n​aij​x机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论：树及其性质

机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论：树及其性质

机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理

机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理

机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之图论（10）：匹配基本定理

机器学习｜数学基础Mathematics for Machine Learning系列之矩阵理论（16）：向量和矩阵的极限