线性代数矩阵知识

Posted 2021-01-19 cymwill

补充一些数学知识：

首先AB相似：P^-1*A*P=B，   AB合同：C^T*A*C=B,

 

二次型：系数在K中的一个n元二次多项式。由其生成的矩阵称为二次型的矩阵，二次型的矩阵一定是对称矩阵！

正定矩阵：实二次型x^T*A*x > 0, x为列向量。

性质：假设A为正定矩阵

　　1、正定矩阵特征值全大于0

　　2、行列式 |A| >0

　　3、A合同于单位阵E，即存在可逆方阵C， s.t. C^T*E*C = A = C^T*C, 显然可得A为对称正定

 

正交矩阵：A*A^T=A^T*A=E ，

性质：

　　1、A的各行/列是单位向量且两两正交

　　2、A^T=A^-1

　　3、|A|=1

　　4、(Ax,Ay)=(x,y)x,y∈R

(另补充)

正交变换：实内积空间V到自身的满射A，如果保持内积不变，即<Aα, Aβ> = <α, β>；当且仅当A是V到自身一个同构映射。

正交变换保持向量长度、夹角、正交性、向量间的距离不变。

 

 

酉矩阵：A*A^H=A^H*A=E    显然为正交矩阵在复数域上的推广。其中H为共轭转置。

性质：

　　1、A的各行/列是单位向量且两两正交

　　2、A^H=A^-1

　　3、|A|=1

(另补充):

　　V上内积：复数域上线性空间V上一个二元函数<α, β> , 满足:

　　　　1, <α, β> = <α, β>的共轭; 　　2, 对第一个变量满足线性性(加法和数乘)，由1则对第二个变量也有; 　　3, <α, α> >=0 iff α=0取"="

　　酉空间：复线性空间V上如果指定了一个上述内积；

　　酉空间同构：设V, V^‘ 都是酉空间，如果存在V到V^‘一个双射σ，使得σ保持加法和数乘，且保持内积。则σ是V到V^‘ 的一个同构映射

　　酉变换：酉空间V到自身的满射A，如果保持内积不变，即<Aα, Aβ> = <α, β>；当且仅当A是V到自身一个同构映射

　　

 

(另补充):

厄米特矩阵：A^H = A

　　对称变换：实内积空间V上一个变换A，如果满足<Aα, β> = <α, Aβ>，则称A为一个对称变换。当且仅当变换A在V任一标准正交基下矩阵为对称矩阵。

　　Hermite变换：酉空间V上一个变换A，如果满足<Aα, β> = <α, Aβ>，则称A为一个hermite变换/自伴(随)变换

　　定理：酉空间V上的hermite变换A如果有特征值，则其特征值为实数。

　　伴随变换：设A是复(实)内积空间V上一个线性变换，如果存在V上另一线性变换记为A^* 满足<Aα, β> = <α, A^*β>　

　　定理：任意线性变换A，都存在唯一一个伴随矩阵A^*。且若A在一个标准正交基矩阵为A，则A^* 在这个标准正交基下矩阵为A^*

　　　　实内积空间中，对称变换A的伴随变换是它自身；正交变换A的伴随变换是A^-1 ; 斜对称是-A。

　　　　酉空间V中酉变换A的伴随变换是A^-1 ; Hermite变换A的伴随变换是它自身。

　　

 

 

正规矩阵：A*A^H=A^H*A    (以上的矩阵均有这个性质，故正规矩阵最为广泛)

正规矩阵的充要条件是：存在酉矩阵U，使得A酉相似于对角矩阵B，即U^H*A*U=U^-1*A*U=B。

(另补充):

正规变换：设V复(实)内积空间，A是V上一个线性变换，如果A有伴随变换A^* ，且AA^*=A^*A，则称A是正规变换。

定理：设A是有限维酉空间V上线性变换，则V存在一个标准正交基，使得A在此组基下的矩阵是对角矩阵。

定理：对于复数域上的任一n级正规矩阵A都酉相似于对角阵，即存在一个酉矩阵P，使得P^-1*A*P 为对角矩阵。