行列式及其相关

Posted 2021-01-11 zhangwenbiao

行列式的公理化定义

一般讲线性代数，先讲矩阵理论，再讲行列式，再讲线性变换、线性空间、特征值理论，二次型理论等，有的国内教材例如同济第六版《线性代数》先讲行列式再讲矩阵理论，简直反人类了，呵呵。推荐使用

- Gilbert-Strang教授的《Introduction to Linear Algebra》目前已出到第五版，网易有Strange教授的公开课视频。
- Igor Shafarevich教授的《Linear Algebra and Geomerty》
- Alex《线性代数应该这样学》
- 蓝以中《高等代数简明教程》

既然先讲行列式，不妨先抛弃行列式的具体定义，把它当做具有某种性质的函数，用公理化的方法建立行列式理论。

定义 1(行列式)  设$M_{n imes n}$为$n$阶矩阵的全体构成的集合，映射$f:M_{n imes n} o mathbb{R}$,且映射$f$满足

(P1) 单位矩阵的行列式为1，即$f(e_{1},e_{2},cdots,e_{n})=1.$

(P2) 交换矩阵$Ain M_{n imes n}$的任意两行$alpha_{j}$与$alpha_{k}$，行列式改变符号，即$f(alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{j},cdots,alpha_{k},cdots,alpha_{n})=-f(alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{k},cdots,alpha_{j},cdots,alpha_{n})$.

(P3) 映射$f$对第$k$个变量具有线性性，即

$f(alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{k}+eta_{k},cdots,alpha_{n})=f(alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{k},cdots,alpha_{n})+f(alpha_{1},alpha_{2},cdots,eta_{k},cdots,alpha_{n}),$

$f(alpha_{1},alpha_{2},cdots,talpha_{k},cdots,alpha_{n})=t f(alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{k},cdots,alpha_{n}),,,tinmathbb{R}.$

若确实唯一存在满足性质P(1)、P(2)、P(3)的映射**$f:M_{n imes n} o mathbb{R}$，则称$f(alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{k},cdots,alpha_{n})$为矩阵$A$的行列式，记作$det(A)$或者$|A|$.在未确定这种映射的存在唯一性之前，我们仍采用$f(alpha_{1},alpha_{2},cdots,alpha_{k},cdots,alpha_{n})$或者$f(A)$的记号，看能否推出行列式的更多其他性质。

由行列式的定义可推出的性质

------

(P4) 若方阵的两行相同，则该矩阵的行列式为零。

Proof. 交换相同的两行的位置，根据性质P(2)有
$$
f(alpha_{1},cdots,alpha_{k},cdots,alpha_{k},cdots,alpha_{n})=-f(alpha_{1},cdots,alpha_{k},cdots,alpha_{k},cdots,alpha_{n}),
$$
故$f(A)=0$.

P(5) 把矩阵的某一行的$t$倍加到其他行，行列式不改变。

Proof.  根据性质P(3)有$f(alpha_{1},cdots,alpha_{j}+talpha_{k},cdots,alpha_{k},cdots,alpha_{n})=f(alpha_{1},cdots,alpha_{i},cdots,alpha_{k},cdots,alpha_{n})+tf(alpha_{1},cdots,alpha_{k},cdots,alpha_{k},cdots,alpha_{n}).$

根据性质P(4),$f(alpha_{1},cdots,alpha_{k},cdots,alpha_{k},cdots,alpha_{n})=0$.

故
$$
f(alpha_{1},cdots,alpha_{j}+talpha_{k},cdots,alpha_{k},cdots,alpha_{n})=f(alpha_{1},cdots,alpha_{i},cdots,alpha_{k},cdots,alpha_{n}).
$$
P(6) 矩阵的某行全为零，则该矩阵的行列式为零。

Proof. 根据性质P(3)，易得$f(A)=2f(A)$，故$f(A)=0.$

P(7) 上三角行列式

$$
U=left(egin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ &a_{22} & cdots &a_{2n} \ & & ddots & vdots \ {Huge0} & & &a_{nn}end{array} ight)
$$

 

的行列式$f(U)=a_{11}a_{22}cdots a_{nn}.$

Proof. 不妨先设$a_{jj} eq 0, j=1,2,cdots,n.$则由$Gauss-Jordan$消元法，**仅**用某行的常数倍加到另一行的初等行边行变换
$$
U=left(egin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ &a_{22} & cdots &a_{2n} \ & & ddots & vdots \ {Huge0} & & &a_{nn}end{array} ight) owidetilde{U}=left(egin{array}{cccc} a_{11} & & & \ &a_{22} & & \ & & ddots & \ & & &a_{nn}end{array} ight),
$$
根据P(5)有，$f(U)=f(widetilde{U}).$ 而根据P(3)易得$f(widetilde{U})=a_{11}a_{22}cdots a_{nn}.$

若$exists jin {1,2,cdots,n},s.t. a_{jj}=0.$则由初等行变换不改变矩阵的秩知，
$$
U=left(egin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & cdots & a_{1n} \ &a_{22} & cdots &a_{2n} \ & & ddots & vdots \ {Huge0} & & &a_{nn}end{array} ight) owidetilde{U}=left(egin{array}{cccc} widetilde{a}_{11} & & & \ &widetilde{a}_{22} & & \ & & ddots & \ & & &0end{array} ight),
$$
从而得$f(U)=f(widetilde{U})=0=a_{11}a_{22}cdots a_{nn}.$

同理可得下三角形矩阵的行列式$f(L)=a_{11}a_{22}cdots a_{nn}.$

推论 若存在满足性质满足性质P(1)、P(2)、P(3)的映射$f:M_{n imes n} o mathbb{R}$，则必唯一。

Proof.  由矩阵$A$等价标准型（仅用交换两行次序和把某行的常数倍加到另一行上，初等变换得到的）的唯一性
$$
A owidetilde{A}=left(egin{array}{cccc} widetilde{a}_{11} & & & \ &widetilde{a}_{22} & & \ & & ddots & \ & & &widetilde{a}_{nn}end{array} ight),
$$
得$f(A)=g(A)=widetilde{a}_{11}widetilde{a}_{22}cdots widetilde{a}_{nn}.forall Ain M_{n imes n}. $故$f=g$唯一性得证.

P(8) 当$A$为奇异矩阵时，$f(A)=0$;若$A$为可逆矩阵，则$f(A) eq 0.$反之也成立。

Proof.  证明思路为$A o U o D.$ 参考P(7)的推论的证明.

P(9) 关于矩阵乘法的行列式
$$
f(AB)=f(A)f(B).
$$
Proof. 不妨设$A,,B$均为非奇异矩阵，否则
$$
rank(AB)leq min{rank(A),rank(B)}<n,
$$
由性质P(8)得
$$
f(AB)=f(A)f(B)=0.
$$
设
$$
g(B)=frac{f(AB)}{f(A)}
$$
则易验证$g(B)$满足性质P(1),P(2),P(2)由P(7)的推论行列式的唯一性得$f(B)=g(B)$, 故命题得证.

推论  $f(A^{m})=f^{m}(A),,,mgeq -1,,min mathbb{Z}.$

P(10) 矩阵的行列式与其转置矩阵的行列式相同.

Proof. 由Gauss消元法可得矩阵的$LU$分解，即$A=LU$，其中$L$为下三角矩阵，$U$为上三角矩阵.由性质P(9)与P(7)得
$$
f(A)=f(LU)=f(L)f(U)=f(L^{T})f(U^{T})=f(U^{T}L^{T})=f(A^{T}).
$$

行列式函数的存在性

------

基本思路是不断地利用线性性和P(1)-P(8)得到
$$
det(A)=sum_{p_{1}p_{2}cdots p_{n}}(-1)^{ au(p_{1}p_{2}cdots p_{n})}a_{1,p_{1}}a_{2,p_{2}}cdots a_{n,p_{n}}.
$$
注意这里$p_{1}p_{2}cdots p_{n}$为$123cdots n$的一个排列不表示乘积，$ au(p_{1}p_{2}cdots p_{n})$为该排列的逆序数. 这样就得到了存在性，结合P(7)的推论就证明了行列式函数的存在唯一性。

一个副产品是
$$
det(A)=a_{11}A_{11}+a_{22}A_{22}+cdots+a_{nn}A_{nn},
$$
这个公式可以为行列式降阶，因此可以利用数学归纳法给出一个新的行列式定义.只须定义一阶行列式即可！

行列式的具体计算

------

方法一：利用初等行(或列)变换变成对角矩阵。（俗称**“打洞”**）

方法二：不断降阶。

方法三：其他奇淫技巧。

行列式的应用

------

能回想起来和行列式相关的应用有

- 判断矩阵是否可逆
- 求矩阵的特征值
- 线性方程组的克莱姆法则
- 二次型的对称矩阵的正定性
- 二阶、三阶行列式的几何意义(面积、体积)以及在平面、立体几何中的应用
- Jocobi行列式与重积分的变量替换以及外微分之间的关系
- Wronsky行列式与函数的线性相关性
- 范德蒙行列式与Lagrange插值多项式的存在性等