行列式相关
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了行列式相关相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
对于 (n) 阶矩阵 (A)，有：
[ det A= egin{vmatrix} a_{11}&a_{12}&cdots&a_{1n}a_{21}&a_{22}&cdots&a_{2n}\vdots&vdots&&vdotsa_{n1}&a_{n2}&cdots&a_{nn} end{vmatrix} = sum_{p}(-1)^{ au(p)}prod_{j}^n a_{jp_j} ]
对于上三角矩阵，有：
[
egin{vmatrix}
a_{11}&a_{12}&a_{13}&cdots&a_{1n} &a_{22}&a_{23}&cdots&a_{2n} &0&a_{33}&cdots&a_{3n}\vdots&vdots&vdots&&vdots &0&0&cdots&a_{nn}
end{vmatrix}
=
prod_{i}^n a_{ii}
]
对于矩阵 (A)，定义其转置矩阵 (A^ ext{T}) 满足 (a_{ij}=a_{ji}^{ ext{T}})，有：
[
det A=det A^{ ext{T}}
]
可知，行列式的行和列是完全等价的。
对于矩阵 (A)，行列式存在性质：
- 性质 1：交换任意两行（列），则(det A) 变号。
- 性质 2：若某行（列）同乘 (k)，则 (det A) 乘 (k)。
- 推论 2.1：若存在两行（列）对应元素成比例，则 (det A) 为 (0)。
- 性质 3：若将矩阵 (A) 拆成 (B) 和 (C)，对于某一行（列）(x)，满足 (vec{A_x}=vec{B_x}+vec{C_x})，其余位置满足 (A_{ij}=B_{ij}=C_{ij})，则 (det A) 为 (det B+det C)。
- 推论 3.1：若将矩阵 (A) 的某行（列）同乘 (k) 加到另一行（列）上，则 (det A) 不变。
- (n) 阶行列式的值等于 (n) 个向量在 (n) 维空间中构成的的平行 (n) 维体的体积。
对于 (n) 阶矩阵 (A)，定义其去掉 (a_{ij}) 所在的行和列后余下的矩阵为 (a_{ij}) 的余子式，记作 (M_{ij})；定义 ((-1)^{i+j}M_{ij}) 为 (a_{ij}) 的代数余子式，记作 (A_{ij})，有：
[
sum_{k=1}^na_{ik}det A_{jk}=egin{cases}det A&i=j\0&i
ot=jend{cases}
]
以上称为行列式按行（列）展开法则。
定义范德蒙德（Vandermonde）矩阵
[
D_n=
egin{bmatrix}
1&1&1&cdots&1a_1&a_2&a_3&cdots&a_na_1^2&a_2^2&a_3^2&cdots&a_n^2\cdots&cdots&cdots&&cdotsa_1^{n-1}&a_2^{n-1}&a_3^{n-1}&cdots&a_n^{n-1}
end{bmatrix}
]
有：
[
det D_n=prod_{1le j<ile n}(a_i-a_j)
]
以上是关于行列式相关的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章