行列式的相关知识

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篇首语:本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理,主要介绍了行列式的相关知识相关的知识,希望对你有一定的参考价值。

萌新刚学行列式,赶紧记下来怕忘qwq

  目录(就是会讲什么东西,如果没有你需要的,就换一篇吧,时间宝贵):

  $1 二阶与三阶行列式

  $2 全排列和对换 【前两条是为了便于理解第3条】

  $3 n阶行列式的定义

  $4 行列式的性质 【重要程度仅次于第5条】

  $5 行列式按行(列)展开 【这里是最重要的,前4条都是为了这一条做铺垫】

 

$1 二阶与三阶行列式:

  •引子(二阶行列式):

    同学们都学过二元一次方程组(以下称为“二元线性方程组”),如果我们把其中的系数都改为带角标的字母,就会得到下面的式子:

      a11x1 + a12x2 = b1      (1)                

      a21x1 + a22x2 = b2      (2)

    (见到这个式子,同学们一定很头痛,但如果你认真阅读以下的文字,相信你会豁然开朗的!)

    我们可以用学过的“消元法”解这个方程,即:

      消去x1的过程:将(1)式左右两边同时乘以a22,同时将(2)式左右两边同时乘以a12,得到:

      a11a22x1 + a12a22x2 = b1a22      (3)

      a21a12x1 + a12a22x2 = b2a12      (4)

      (3)式减去(4)式可以得到

      a11a22x1a21a12x1 = b1a22 - b2a12    (这里就把x2消去了)

      经过一系列操作可得到

      x1 = ( b1a22 - b2a12 ) / ( a11a22a21a12 )

      消去x2的过程:(同上)

      进过一系列操作亦可得到

      x2 = ( b2a11 - b1a21 ) / ( a11a22 - a21a12 )

    这样,我们就得到了一个“公式”去计算二元线性方程组,但是这个公式很难记,而且不能解决大于二次的况,于是我们再次观察上面的“公式”,会发现两个式子的分母部分都是一样的,如果我们吧二元线性方程组的系数提取出来,可以得到:

      a11     a12

      a21     a22       

    分母就可以写成这个方阵向右下的对角线上的两个元素之积,减去另一条对角线上两个元素之积。对于这两个式子的分子,可以将xi的第i列替换上面这个方阵中的第i列,再次进行上述操作,即可得到

    我们发现,对于任意一个形如上式的2 × 2方阵D,都可以用上述方法求得一个数(代表了这个方阵的值,求值式子叫做方阵的行列式),这样的方阵D可以记为det(D),这样,我们就完成了对二阶行列式的初步探究。(注意:行列式写成方阵时,两侧要加上“|”)

  •三阶行列式定义:

    设有9个数排列成3行3列的数表D,

      a11     a12     a13

      a21     a22     a23

      a31     a32     a33

    记det(D) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32 ,这个式子,就叫做数表D所确定的三阶行列式

   •对角线法则:

    对于二阶和三阶行列式,可以使用一个比较简单的方法求得行列式的值。我们将所有向右下的线叫做方阵的主对角线,向右下的线叫做副对角线。行列式的值就是主对角线所有数之积减去副对角线所有数之积。(感性理解就好,结合上面的求法)

 

$2 全排列和对换:

  在讲n阶行列式前,我们需要知道一些全排列和对换的知识
  •排列:

    将n个不同的数排成一列,叫做这n个数的排列(有时也叫全排列)

    n个不同元素全排列的个数可以用n的阶乘来表示,证明如下:

      对于n个不同的元素,考虑第一个位置的元素的可能性,得知有n种;第二个位置的元素的可能性有n - 1种,…………,第n个位置的元素的可能性只有1种,由乘法原理得,d个不同的元素全排列个数为n!

    对于n个不同的元素,规定一个标准次序,可规定n个数从小到大为标准次序,这样,我们就可以引出“逆序数”的定义

  •逆序数:

    在n个元素的任意排列中,当某一个元素的先后次序与标准次序不同时,就说它构成一个逆序。一个排列中所有的逆序的总数叫做这个排列的逆序数;

举个栗子:求 21354 的逆序数

      解:把这5个数一个一个的看

        2之前没有比它大的数,所以2的逆序为0;

        1之前有1个数(2)比它大,所以1的逆序为1;

        3之前没有比它大的数,所以3的逆序为0;

        5之前没有比它大的数,所以5的逆序为0;

        4之前只有5比它大,所以4的逆序为1;             

      综上所述, 21354 的逆序数为0 + 1 + 0 + 0 + 1 = 2;

  •奇排列与偶排列:

    根据逆序数的定义,我们可以求得逆序数,那么根据逆序数的数值,我们可以将排列分为奇排列和偶排列(定义应该不用我多说)

    定义(检查一下和你预想的是否一样): 逆序数为奇数的排列称为奇排列,逆序数为偶数的排列称为偶排列

  •对换:

     定义:在排列中,将任意两个元素对调,其它元素不动,这种操作叫做对换;将相邻的两个元素对换,叫做相邻对换。

    定理:一个排列中的任意两个元素对换,排列改变奇偶性(感性理解,不需要繁琐的证明)

    推论:奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数,偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数(同上)

 

$3 n阶行列式的定义:

  •引子(以三阶行列式为例):

    再写一遍三阶行列式的式子

     | a11     a12     a13 |

     | a21     a22     a23 |

     | a31     a32     a33 |

    det(D) = a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 - a13a22a31 - a12a21a33 - a11a23a32 

    观察可得,det(D)右边的每一项都是三个数相乘,且这三个数都不在同一行内,我们可以把正负号略去,那么这9项就都可以写成a1p1a2p2a3p3的形式。其中的p1p2p3表示的是1,2,3这三个数的排列,这样的种数有3! = 3 * 2 = 6种,对应着det(D)右面有6项。

    再来考虑正负号,带正号的三项列标排列为 1,2,3 , 2,3,1 , 3,1,2;(都是偶排列)

            带负号的三项列标排列为 3,2,1 , 2,1,3 , 1,3,2;(都是奇排列)

    因此各项的符号可以写成(-1)t,t为列标排列的逆序数。

    总之,三阶行列式可以写成det(D) = ∑(-1)ta1p1a2p2a3p3

  •n阶行列式

    定义:有n2个数,排成n行n列的数表D

      a11     a12     a13     ………………     a1n

      a21     a22     a23     ………………     a2n

            ……………

      an1     an2     an3     ………………     ann

    根据引子的结论,可以推知det(D) = ∑(-1)ta1p1a2p2a3p3…………anpn 

未完待续………………

 

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