行列式的相关知识

Posted 2021-02-15 juruohqk

萌新刚学行列式，赶紧记下来怕忘qwq

　　目录（就是会讲什么东西，如果没有你需要的，就换一篇吧，时间宝贵）：

　　$1 二阶与三阶行列式

　　$2 全排列和对换 【前两条是为了便于理解第3条】

　　$3 n阶行列式的定义

　　$4 行列式的性质 【重要程度仅次于第5条】

　　$5 行列式按行（列）展开 【这里是最重要的，前4条都是为了这一条做铺垫】

 

$1 二阶与三阶行列式：

　　•引子（二阶行列式）：

　　　　同学们都学过二元一次方程组（以下称为“二元线性方程组”），如果我们把其中的系数都改为带角标的字母，就会得到下面的式子：

　　　　　　a₁₁x₁ + a₁₂x₂ = b₁　　　　　　（1）                

　　　　　　a₂₁x₁ + a₂₂x₂ = b₂　　　　　　（2）

　　　　（见到这个式子，同学们一定很头痛，但如果你认真阅读以下的文字，相信你会豁然开朗的！）

　　　　我们可以用学过的“消元法”解这个方程，即：

　　　　　　消去x₁的过程：将（1）式左右两边同时乘以a₂₂，同时将（2）式左右两边同时乘以a₁₂，得到：

　　　　　　a₁₁a₂₂x₁ + a₁₂a₂₂x₂ = b₁a₂₂　　　　　　（3）

　　　　　　a₂₁a₁₂x₁ + a₁₂a₂₂x₂ = b₂a₁₂　　　　　　（4）

　　　　　　（3）式减去（4）式可以得到

　　　　　　a₁₁a₂₂x₁ - a₂₁a₁₂x₁ = b₁a₂₂ - b₂a₁₂（这里就把x₂消去了）

　　　　　　经过一系列操作可得到

　　　　　　x₁ = ( b₁a₂₂ - b₂a₁₂ ) / ( a₁₁a₂₂ - a₂₁a₁₂ )

　　　　　　消去x₂的过程：（同上）

　　　　　　进过一系列操作亦可得到

　　　　　　x₂ = ( b₂a₁₁ - b₁a₂₁ ) / ( a₁₁a₂₂ - a₂₁a₁₂ )

　　　　这样，我们就得到了一个“公式”去计算二元线性方程组，但是这个公式很难记，而且不能解决大于二次的况，于是我们再次观察上面的“公式”，会发现两个式子的分母部分都是一样的，如果我们吧二元线性方程组的系数提取出来，可以得到：

　　　　　　a₁₁     a₁₂

　　　　　　a₂₁     a₂₂ 　　　　　　

　　　　分母就可以写成这个方阵向右下的对角线上的两个元素之积，减去另一条对角线上两个元素之积。对于这两个式子的分子，可以将x_i的第i列替换上面这个方阵中的第i列，再次进行上述操作，即可得到

　　　　我们发现，对于任意一个形如上式的2 × 2方阵D，都可以用上述方法求得一个数（代表了这个方阵的值，求值式子叫做方阵的行列式），这样的方阵D可以记为det(D)，这样，我们就完成了对二阶行列式的初步探究。（注意：行列式写成方阵时，两侧要加上“|”）

　　•三阶行列式定义：

　　　　设有9个数排列成3行3列的数表D，

　　　　　　a₁₁     a₁₂     a₁₃

　　　　　　a₂₁     a₂₂     a₂₃

　　　　　　a₃₁     a₃₂     a₃₃

　　　　记det(D) = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂ ，这个式子，就叫做数表D所确定的三阶行列式

 　　•对角线法则：

　　　　对于二阶和三阶行列式，可以使用一个比较简单的方法求得行列式的值。我们将所有向右下的线叫做方阵的主对角线，向右下的线叫做副对角线。行列式的值就是主对角线所有数之积减去副对角线所有数之积。（感性理解就好，结合上面的求法）

 

$2 全排列和对换：

　　在讲n阶行列式前，我们需要知道一些全排列和对换的知识

　　•排列：

　　　　将n个不同的数排成一列，叫做这n个数的排列（有时也叫全排列）

　　　　n个不同元素全排列的个数可以用n的阶乘来表示，证明如下：

　　　　　　对于n个不同的元素，考虑第一个位置的元素的可能性，得知有n种；第二个位置的元素的可能性有n - 1种，…………，第n个位置的元素的可能性只有1种，由乘法原理得，d个不同的元素全排列个数为n！

　　　　对于n个不同的元素，规定一个标准次序，可规定n个数从小到大为标准次序，这样，我们就可以引出“逆序数”的定义

　　•逆序数：

　　　　在n个元素的任意排列中，当某一个元素的先后次序与标准次序不同时，就说它构成一个逆序。一个排列中所有的逆序的总数叫做这个排列的逆序数；

举个栗子：求 21354 的逆序数

　　　　　　解：把这5个数一个一个的看

　　　　　　　　2之前没有比它大的数，所以2的逆序为0；

　　　　　　　　1之前有1个数（2）比它大，所以1的逆序为1；

　　　　　　　　3之前没有比它大的数，所以3的逆序为0；

　　　　　　　　5之前没有比它大的数，所以5的逆序为0；

　　　　　　　　4之前只有5比它大，所以4的逆序为1；　　　　　　      　

　　　　　　综上所述， 21354 的逆序数为0 + 1 + 0 + 0 + 1 = 2；

　　•奇排列与偶排列：

　　　　根据逆序数的定义，我们可以求得逆序数，那么根据逆序数的数值，我们可以将排列分为奇排列和偶排列（定义应该不用我多说）

　　　　定义（检查一下和你预想的是否一样）： 逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列

　　•对换：

 　　　 定义：在排列中，将任意两个元素对调，其它元素不动，这种操作叫做对换；将相邻的两个元素对换，叫做相邻对换。

　　　　定理：一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性（感性理解，不需要繁琐的证明）

　　　　推论：奇排列对换成标准排列的对换次数为奇数，偶排列对换成标准排列的对换次数为偶数（同上）

 

$3 n阶行列式的定义：

　　•引子（以三阶行列式为例）：

　　　　再写一遍三阶行列式的式子

　　　　　|　a₁₁     a₁₂     a_13　|

　　　　　|　a₂₁     a₂₂     a_23　|

　　　　　|　a₃₁     a₃₂     a_33　|

　　　　det(D) = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₁₂a₂₃a₃₁ + a₁₃a₂₁a₃₂ - a₁₃a₂₂a₃₁ - a₁₂a₂₁a₃₃ - a₁₁a₂₃a₃₂ 

　　　　观察可得，det(D)右边的每一项都是三个数相乘，且这三个数都不在同一行内，我们可以把正负号略去，那么这9项就都可以写成a_1p1a_2p2a_3p3的形式。其中的p₁p₂p₃表示的是1,2,3这三个数的排列，这样的种数有3！ = 3 * 2 = 6种，对应着det(D)右面有6项。

　　　　再来考虑正负号，带正号的三项列标排列为 1,2,3 ， 2,3,1 ， 3,1,2；（都是偶排列）

　　　　　　　　　　　　带负号的三项列标排列为 3,2,1 ， 2,1,3 ， 1,3,2；（都是奇排列）

　　　　因此各项的符号可以写成(-1)^t，t为列标排列的逆序数。

　　　　总之，三阶行列式可以写成det(D) = ∑(-1)^ta_1p1a_2p2a_3p3

　　•n阶行列式

　　　　定义：有n²个数，排成n行n列的数表D

　　　　　　a₁₁     a₁₂     a₁₃     ………………     a_1n

　　　　　　a₂₁     a₂₂     a₂₃     ………………     a_2n

　　　　　　　　　　　　……………

　　　　　　a_n1     a_n2     a_n3     ………………     a_nn

　　　　根据引子的结论，可以推知det(D) = ∑(-1)^ta_1p1a_2p2a_3p3…………a_npn 

未完待续………………