2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案-第一小题
Posted 卓晴
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▓ 本文是2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案中的小题答案
§01 第一小题
1. 用拉普拉斯变换解下列微分方程：
（1）
d 2 d t 2 y ( t ) + 2 d d t y ( t ) + y ( t ) = δ ( t ) + 2 δ ′ ( t ) {{d^2 } \\over {dt^2 }}y\\left( t \\right) + 2{d \\over {dt}}y\\left( t \\right) + y\\left( t \\right) = \\delta \\left( t \\right) + 2\\delta '\\left( t \\right) dt2d2y(t)+2dtdy(t)+y(t)=δ(t)+2δ′(t)
y ( 0 − ) = 1 , y ′ ( 0 − ) = 2 y\\left( {0_ - } \\right) = 1,\\,\\,\\,y'\\left( {0_ - } \\right) = 2 y(0−)=1,y′(0−)=2
（2）
d 2 d t 2 y ( t ) + 5 d d t y ( t ) + 6 y ( t ) = 3 x ( t ) {{d^2 } \\over {dt^2 }}y\\left( t \\right) + 5{d \\over {dt}}y\\left( t \\right) + 6y\\left( t \\right) = 3x\\left( t \\right) dt2d2y(t)+5dtdy(t)+6y(t)=3x(t)
x ( t ) = e − t u ( t ) , y ( 0 − ) = 0 , y ′ ( 0 − ) = 1 x\\left( t \\right) = e^{ - t} u\\left( t \\right),\\,\\,\\,y\\left( {0_ - } \\right) = 0,\\,\\,y'\\left( {0_ - } \\right) = 1 x(t)=e−tu(t),y(0−)=0,y′(0−)=1
提示：参考§5.7.1, §5.7.1.1
■ 求解：
（1）第一小题
对微分方程两边进行Laplace变换，根据Laplace变换的微分定理可将系统的初始条件代入方程：
s 2 Y ( s ) − s y ( 0 − ) − y ′ ( 0 − ) + 2 [ s Y ( s ) − y ( 0 − ) ] + Y ( s ) = 1 + 2 s s^2 Y\\left( s \\right) - sy\\left( {0_ - } \\right) - y'\\left( {0_ - } \\right) + 2\\left[ {sY\\left( s \\right) - y\\left( {0_ - } \\right)} \\right] + Y\\left( s \\right) = 1 + 2s s2Y(s)−sy(0−)−y′(0−)+2[sY(s)−y(0−)]+Y(s)=1+2s
s 2 Y ( s ) − s − 2 + 2 [ s Y ( s ) − 1 ] + Y ( s ) = 1 + 2 s s^2 Y\\left( s \\right) - s - 2 + 2\\left[ {sY\\left( s \\right) - 1} \\right] + Y\\left( s \\right) = 1 + 2s s2Y(s)−s−2+2[sY(s)−1]+Y(s)=1+2s
( s 2 + 2 s + 1 ) Y ( s ) = 3 s + 5 \\left( {s^2 + 2s + 1} \\right)Y\\left( s \\right) = 3s + 5 (s2+2s+1)Y(s)=3s+5
Y ( s ) = 5 + 3 s s 2 + 2 s + 1 Y\\left( s \\right) = {{5 + 3s} \\over {s^2 + 2s + 1}} Y(s)=s2+2s+15+3s
进行Laplace反变换可以得到方程的解
y
(
t
)
=
3
e
−
t
+
2
t
⋅
e
−
t
,
t
≥
0
y\\left( t \\right) = 3e^{ - t} + 2t \\cdot e^{ - t} ,\\,\\,\\,\\,t \\ge 0
y(t)=3e−t+2t⋅e−t,t≥0
>>ilaplace((3*s+5)/(s*s+2*s+1))'
ans=3*exp(-t)+2*t*exp(-t)
（2）第二小题
对微分方程两边进行Laplace变换，根据Laplace变换的微分定理可将系统的初始条件代入方程：
s 2 Y ( s ) − s y ( 0 − ) − y ′ ( 0 − ) + 5 [ s Y ( s ) − y ( 0 − ) ] + 6 Y ( s ) = 3 X ( s ) s^2 Y\\left( s \\right) - sy\\left( {0_ - } \\right) - y'\\left( {0_{\\rm{ - }} } \\right) + 5\\left[ {sY\\left( s \\right) - y\\left( {0_ - } \\right)} \\right] + 6Y\\left( s \\right) = 3X\\left( s \\right) s2Y(s)−sy(0−)−y′(0−)+5[sY(s)−y(0−)]+6Y(s)=3X(s)
X ( s ) = 1 s + 1 X\\left( s \\right) = {1 \\over {s + 1}} X(s)=s+11
( s 2 + 5 s + 6 ) Y ( s ) = 1 s + 1 + 1 \\left( {s^2 + 5s + 6} \\right)Y\\left( s \\right) = {1 \\over {s + 1}} + 1 (s2+5s+62021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案-第二小题
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