2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案-第五小题
Posted 卓晴
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案-第五小题相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
▓ 本文是 2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案中的小题答案
§05 第五小题
5. 给定实数序列 x [ n ] x\\left[ n \\right] x[n]及其Z变换表达式 X ( z ) X\\left( z \\right) X(z)。请证明：
X ( z ) = X ∗ ( z ∗ ) X\\left( z \\right) = X^* \\left( {z^* } \\right) X(z)=X∗(z∗)
提示：直接根据定义即可。对比FT，LT相应的性质有何不同。
■ 求解：
根据 Z 变换的定义，对于序列 x [ n ] x\\left[ n \\right] x[n]，它的 Z 变换为： X ( z ) = ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] ⋅ z − n X\\left( z \\right) = \\sum\\limits_{n = - \\infty }^\\infty {x\\left[ n \\right] \\cdot z^{ - n} } X(z)=n=−∞∑∞x[n]⋅z−n
根据复数共轭性质可知
X ∗ ( z ) = ( ∑ n = − ∞ ∞ x [ n ] ⋅ z − n ) ∗ = ∑ n = − ∞ ∞ ( x [ n ] ⋅ z − n ) ∗ X^* \\left( z \\right) = \\left( {\\sum\\limits_{n = - \\infty }^\\infty {x\\left[ n \\right] \\cdot z^{ - n} } } \\right)^* = \\sum\\limits_{n = - \\infty }^\\infty {\\left( {x\\left[ n \\right] \\cdot z^{ - n} } \\right)^* } X∗(z)=(n=−∞∑∞x[n]⋅z−n)∗=n=−∞∑∞(x[n]⋅z−n)∗
再根据
x
[
n
]
x\\left[ n \\right]
x[n]是实数序列，因此
(
x
[
n
]
)
∗
=
x
[
n
]
\\left( {x\\left[ n \\right]} \\right)^* = x\\left[ n \\right]
(x[n])∗=x[n]，所以
X
∗
(
z
)
=
∑
n
=
−
∞
∞
x
[
n
]
⋅
(
z
−
n
)
∗
=
∑
n
=
−
∞
∞
x
[
n
]
⋅
(
z
∗
)
−
n
=
X
(
z
∗
)
X^* \\left( z \\right) = \\sum\\limits_{n = - \\infty }^\\infty {x\\left[ n \\right] \\cdot \\left( {z^{ - n} } \\right)^* } = \\sum\\limits_{n = - \\infty }^\\infty {x\\left[ n \\right] \\cdot \\left( {z^* } \\right)^{ - n} } = X\\left( {z^* } \\right)
X∗(z)=n=−∞∑∞x[n]⋅(z−n)∗=n=−∞∑∞x[n]⋅(z∗)−n=X(z∗)
▓ 讨论
对于Laplace变换，当信号 x ( t ) x\\left( t \\right) x(t)为实信号的时候，它也具有相类似的共轭特性： x ( t ) ⟶ L T X ( s ) x\\left( t \\right)\\mathrel{\\mathop{\\kern0pt\\longrightarrow}\\limits_{}^{LT}} X\\left( s \\right) x(t)⟶LTX(s)
此时： X ∗ ( s ) = X ( s ∗ ) X^* \\left( s \\right) = X\\left( {s^* } \\right) X∗(s)=X(s∗)
证明方式与前面 Z变换的方法类似。
对于Fourier变换，它相当等于 s = j ω s = j\\omega s=jω，因此对于实数信号 x ( t ) x\\left( t \\right) x(t)对应的Fourier变换结果如果取共轭，结果为 x ( t ) ⟶ F T F ( j ω ) x\\left( t \\right)\\mathrel{\\mathop{\\kern0pt\\longrightarrow}\\limits_{}^{FT}} F\\left( {j\\omega } \\right) x(t)⟶FTF(jω)
F ∗ ( j ω ) = F ( − j ω ) F^* \\left( {j\\omega } \\right) = F\\left( { - j\\omega } \\right) F∗(jω)=F(−jω)
即实数信号的频谱是左右共轭对称，由此可以得到实数信号 x ( t ) x\\left( t \\right) x(t)的幅度谱是关于 ω \\omega ω的偶函数，相位谱是关于 ω \\omega ω的奇函数。
▌十二次作业其它各小题参考答案
以上是关于2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案-第五小题的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案-第二小题
2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案-第四小题
2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案-第三小题
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