2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案-第二小题
Posted 卓晴
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案-第二小题相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
▓ 本文是 2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案中的小题答案
§02 第二小题
2. 用单边 z z z 变换求解下列差分方程，并求出零输入响应和零状态状态响应。
（1）
y [ n ] + 3 y [ n − 1 ] = x [ n ] , x [ n ] = ( 1 2 ) n ⋅ u [ n ] , y [ − 1 ] = 1 y\\left[ n \\right] + 3y\\left[ {n - 1} \\right] = x\\left[ n \\right],\\,\\,x\\left[ n \\right] = \\left( {{1 \\over 2}} \\right)^n \\cdot u\\left[ n \\right],\\,\\,y\\left[ { - 1} \\right] = 1 y[n]+3y[n−1]=x[n],x[n]=(21)n⋅u[n],y[−1]=1
（2）
y [ n ] − 1 2 y [ n − 1 ] = x [ n ] − 1 2 x [ n − 1 ] , x [ n ] = u [ n ] , y [ − 1 ] = 1 y\\left[ n \\right] - {1 \\over 2}y\\left[ {n - 1} \\right] = x\\left[ n \\right] - {1 \\over 2}x\\left[ {n - 1} \\right],\\,\\,x\\left[ n \\right] = u\\left[ n \\right],\\,\\,\\,\\,y\\left[ { - 1} \\right] = 1 y[n]−21y[n−1]=x[n]−21x[n−1],x[n]=u[n],y[−1]=1
提示：参考§5.7.2, §5.7.2.1’
■ 求解：
（1）第一小题
方程两边同时进行z变换：
Y
(
z
)
+
3
z
−
1
Y
(
z
)
+
3
⋅
y
[
−
1
]
=
X
(
z
)
Y\\left( z \\right) + 3z^{ - 1} Y\\left( z \\right) + 3 \\cdot y\\left[ { - 1} \\right] = X\\left( z \\right)
Y(z)+3z−1Y(z)+3⋅y[−1]=X(z)
(
1
+
3
z
−
1
)
Y
(
z
)
=
z
z
−
1
2
−
3
\\left( {1 + 3z^{ - 1} } \\right)Y\\left( z \\right) = {z \\over {z - {1 \\over 2}}} - 3
(1+3z−1)Y(z)=z−21z−3
Y
(
z
)
=
z
(
−
2
z
+
3
2
)
(
z
−
1
2
)
(
z
+
3
)
=
1
7
z
z
−
1
2
+
−
15
7
z
z
+
3
Y\\left( z \\right) = {{z\\left( { - 2z + {3 \\over 2}} \\right)} \\over {\\left( {z - {1 \\over 2}} \\right)\\left( {z + 3} \\right)}} = {{{1 \\over 7}z} \\over {z - {1 \\over 2}}} + {{ - {{15} \\over 7}z} \\over {z + 3}}
Y(z)=(z−21)(z+3)z(−2z+23)=z−2171z+z+3−715z
y
[
n
]
=
1
7
(
1
2
)
n
u
[
n
]
−
15
7
(
−
3
)
n
u
[
n
]
y\\left[ n \\right] = {1 \\over 7}\\left( {{1 \\over 2}} \\right)^n u\\left[ n \\right] - {{15} \\over 7}\\left( { - 3} \\right)^n u\\left[ n \\right]
y[n]=71(21)nu[n]−715(−3)nu[n]
零输入响应：
Y
z
i
(
z
)
=
−
3
1
+
3
z
−
1
=
−
3
z
z
+
3
Y_{zi} \\left( z \\right) = {{ - 3} \\over {1 + 3z^{ - 1} }} = {{ - 3z} \\over {z + 3}}
Yzi(z)=1+3z−1−3=z+3−3z
y
z
i
[
n
]
=
−
3
(
−
3
)
n
⋅
u
[
n
]
=
(
−
3
)
n
+
1
u
[
n
]
y_{zi} \\left[ n \\right] = - 3\\left( { - 3} \\right)^n \\cdot u\\left[ n \\right] = \\left( { - 3} \\right)^{n + 1} u\\left[ n \\right]
yzi[n]=−3(−3)n⋅u[n]=(−3)n+1u[n]
零状态响应：
Y
z
s
(
z
)
=
z
2
(
z
−
1
2
)
(
z
+
3
)
=
1
7
z
z
−
1
2
+
6
7
z
z
+
3
Y_{zs} \\left( z \\right) = {{z^2 } \\over {\\left( {z - {1 \\over 2}} \\right)\\left( {z + 3} \\right)}} = {{{1 \\over 7}z} \\over {z - {1 \\over 2}}} + {{{6 \\over 7}z} \\over {z + 3}}
Yzs(z)=(z−21)(以上是关于2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案-第二小题的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章
2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案-第二小题
2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案-第四小题
2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案-第三小题
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