2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案-第六小题
Posted 卓晴
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▓ 本文是 2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案中的小题答案
§06 第六小题
6. 已知：
X ( z ) = ln ( 1 + a z ) , ( ∣ z ∣ > ∣ a ∣ ) X\\left( z \\right) = \\ln \\left( {1 + {a \\over z}} \\right),\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\,\\left( {\\left| z \\right| > \\left| a \\right|} \\right) X(z)=ln(1+za),(∣z∣>∣a∣)
求对应的序列 x [ n ] x\\left[ n \\right] x[n]
提示：
X ( z ) = ∑ n = 0 ∞ x [ n ] z − n X\\left( z \\right) = \\sum\\limits_{n = 0}^\\infty {x\\left[ n \\right]z^{ - n} } X(z)=n=0∑∞x[n]z−n X ′ ( z ) = ∑ n = 0 ∞ ( − n ) x [ n ] z − n − 1 X'\\left( z \\right) = \\sum\\limits_{n = 0}^\\infty {\\left( { - n} \\right)x\\left[ n \\right]z^{ - n - 1} } X′(z)=n=0∑∞(−n)x[n]z−n−1 z ⋅ X ′ ( z ) = ∑ n = 0 ∞ { − n ⋅ x [ n ] } z − n z \\cdot X'\\left( z \\right) = \\sum\\limits_{n = 0}^\\infty {\\left\\{ { - n \\cdot x\\left[ n \\right]} \\right\\}z^{ - n} } z⋅X′(z)=n=0∑∞{−n⋅x[n]}z−n − n ⋅ x [ n ] = Z T − 1 [ z ⋅ X ′ ( z ) ] - n \\cdot x\\left[ n \\right] = ZT^{ - 1} \\left[ {z \\cdot X'\\left( z \\right)} \\right] −n⋅x[n]=ZT−1[z⋅X′(z)] x [ n ] = 1 − n ⋅ Z T − 1 [ z ⋅ X ′ ( z ) ] x\\left[ n \\right] = {1 \\over { - n}} \\cdot ZT^{ - 1} \\left[ {z \\cdot X'\\left( z \\right)} \\right] x[n]=−n1⋅ZT−1[z⋅X′(z)]
■ 求解：
首先，对于 X ( z ) X\\left( z \\right) X(z)进行求导：
d d z X ( z ) = 1 1 + a z ⋅ ( − a ⋅ 1 z 2 ) = − a z ( z + a ) {d \\over {dz}}X\\left( z \\right) = {1 \\over {1 + {a \\over z}}} \\cdot \\left( { - a \\cdot {1 \\over {z^2 }}} \\right) = {{ - a} \\over {z\\left( {z + a} \\right)}} dzdX(z)=1+za1⋅(−a⋅z21)=z(z+a)−a
在根据提示可以知道：（具体中间推导见上面的提示）
x [ n ] = 1 − n ⋅ Z T − 1 [ z ⋅ X ′ ( z ) ] x\\left[ n \\right] = {1 \\over { - n}} \\cdot ZT^{ - 1} \\left[ {z \\cdot X'\\left( z \\right)} \\right] x[n]=−n1⋅ZT−1[z⋅X′(z)]
而，
Z
T
−
1
[
z
⋅
X
′
(
z
)
]
=
Z
T
−
1
[
−
a
z
+
a
]
=
−
a
⋅
Z
T
−
1
[
z
−
1
⋅
z
z
+
a
]
ZT^{ - 1} \\left[ {z \\cdot X'\\left( z \\right)} \\right] = ZT^{ - 1} \\left[ {{{ - a} \\over {z + a}}} \\right]\\, = - a \\cdot ZT^{ - 1} \\left[ {z^{ - 1} \\cdot {z \\over {z + a}}} \\right]
ZT−1[z⋅X′(z)]=ZT−1[z+a−a]=−a⋅ZT−1[z−1⋅z+az]
=
−
a
⋅
(
−
a
)
n
−
1
⋅
u
[
n
−
1
]
=
(
−
a
)
n
⋅
u
[
n
−
1
]
= - a \\cdot \\left( { - a} \\right)^{n - 1} \\cdot u\\left[ {n - 1} \\right] = \\left( { - a} \\right)^n \\cdot u\\left[ {n - 1} \\right]
=−a⋅(−a)n−1⋅u[n−1]=(−a)n⋅u[n−1]
上式推导过程中，应用到
- X ( z ) X\\left( z \\right) X(z)的收敛域为 ∣ z ∣ > ∣ a ∣ \\left| z \\right| > \\left| a \\right| ∣z∣>∣a∣，所以写出 z z z反变换对应的右边序列；
- 应用到 z z z变换的位移特性；
最后，可得 x [ n ] = ( − a ) n − n u [ n − 1 ] x\\left[ n \\right] = {{\\left( { - a} \\right)^n } \\over { - n}}u\\left[ {n - 1} \\right] x[n]=2021年春季学期-信号与系统-第十二次作业参考答案-第二小题
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