概率论与数理统计猴博士 笔记 p36-37 协方差相关系数不相关相互独立时的期望和方差

Posted 2022-05-09 karshey

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• • 协方差、相关系数
  • 不相关、相互独立时的期望和方差

协方差、相关系数

接下来做几道例题，练习一下套公式：
例1：

解：
前4个就是简单的套公式：

第5个有点类似分配律：
$$\begin{gathered} Cov(2X+3Y,4X+5Y)= \\ 8Cov(X,X)+10Cov(X,Y)+12Cov(X,Y)+15Cov(Y,Y) \end{gathered}$$

第6个：套用协方差相关的方差公式（不要用E(x²)-(EX)²）
$$D(aX+bY)=a^{2}DX+b^{2}DY+2abCov(X,Y)$$

第7个：
$$\frac{\sqrt{1}5}{5}$$

例2：

答案：3。

例3：

解：
A。

利用性质去做：

X+Y=n，即Y=-X+n，则A。

例4：

解：
由正态分布的性质得知：
$$EX=0,DX=1,EY=1,DY=4$$
则：
$$\begin{gathered} 设Y=aX+b,EY=aEX+b,DY=a^{2}DX \\ 可得a=2或-2，b=1 \\ 由于相关系数为1，则a>0 \\ 所以答案为D \end{gathered}$$

不相关、相互独立时的期望和方差

接下来开始练习套公式：
例1：

解：
B。

也可以：
$$\begin{gathered} Cov(X+Y,X-Y)=0 \\ 即Cov(X,X)-Cov(X,Y)+Cov(X,Y)-Cov(Y,Y)=0 \\ 即Cov(X,X)-Cov(Y,Y)=0 \\ 即DX=DY \\ 即B选项 \end{gathered}$$

例2：

解：
B。

例3：

解：
2。
已知相互独立，则D(X-Y)=DX+DY=4+2=6;
注意，不管括号里是+还是-，答案都是DX+DY。

例4：

解：
已知相关系数为0，则X，Y相互独立。