概率论与数理统计猴博士 笔记 p33-35 超几何分布正态分布二项分布

Posted 2022-04-18 karshey

超几何分布H

例1：
设随机变量X~H(5,3,2)，求PX=1、EX、DX.
解：
题意是：共有5个球，其中3个目标球，共取2次，取到1个目标球的概率。
$$\begin{gathered} PX=1=\frac{3}{5} \\ EX=\frac{6}{5} \\ DX=\frac{9}{25} \end{gathered}$$

正态分布N

一维正态分布

总体考点公式如下：

对第1点：
$$\begin{gathered} P在X在a到b之间=\Phi (\frac{b-\mu }{\sigma })-\Phi (\frac{a-\mu }{\sigma }) \\ \Phi (+\infty )=1，\Phi (-\infty )=0，\Phi (0)=0.5，\Phi (a)=1-\Phi (-a) \end{gathered}$$
例1：

解：套公式。（其实这两个概率加起来为1）

例2：

解：0.5，0.5。

例3：

解：0.3.

例4：

解：

上题那样的其实不会考，但是会考：（注意考点二）
$$\Phi (a)>\Phi (b)=>a>b$$

考点3：
$$标准正态分布=>\mu =0,\sigma =1$$

代入正态分布的函数得考点4：

考点5：
$$\begin{gathered} 若X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2),Y\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2),且X与Y相互独立，则 \\ aX+bY+c\sim N(a{\mu }_1+b{\mu }_2+c,a^2{\sigma }_1^2+b^2{\sigma }_2^2) \end{gathered}$$

例6：

解：套考点公式和正态分布公式即可。

考点6：
$$aX+c\sim N(a\mu +c,a^2{\sigma }^2)$$
例7：

解：N(2,9).

结合考点5、6：考点5中令b=0，得到的式子就是考点6

考点7：标准化。(可以由考点6推出)
$$X\sim N(\alpha ,\beta )=>\frac{X-\alpha }{\sqrt{\beta }}\sim N(0,1)$$
例8：

解：
$$\frac{X-2}{3}$$

考点8：

例9：

$$\begin{gathered} \theta \\ \frac{1}{2} \end{gathered}$$

例10：

解：和上题一样。考试的时候不会直接告诉我们期望和方差是多少，而是放在正态分布公式里告诉我们。

例10-1：

解：和上两题一样。
实际上，考试会考的更复杂：把正态分布的公式拆开。

记下这个公式，进行一些玄学的猜答案：

例11：

解：
对蓝色的式子：指数多出来的常数单独乘出来即可（倒数第3个等号）

对红色的式子：

$$\begin{gathered} 其实就是看积分里是xe还是x^{2}e \\ 如果是xe，那就是A\mu \\ 如果是x^{2}e，那就是A({\mu }^2+{\sigma }^2) \\ A是式子中多出来的系数，若没有，A就是1 \end{gathered}$$
一个是E(X)，一个是E(X²).

二维正态分布（考得不多）

例12：一道概念题。

解：
A：X。不符合考点2.
B：√。符合考点2.
C：X。还要X，Y相互独立才行。见一维正态分布的考点5.
D：X。X和Y符合二维正态分布时，不相关与独立等价（考点1的④），而这里题干只是符合正态分布，没有说是二维正态分布。

例13：

解：
一般二维正态分布要求概率，ρ会等于0.
步骤是要把X、Y拆开求——把XY怎样的概率变为X怎样乘以Y怎样。
第2到第3个等号由X、Y相互独立推出。
然后就是代入求值即可。

二项分布B

ps:③是中心极限定理。
例1：

解：
套公式：
$$\begin{gathered} PX=3=\frac{5}{16} \\ EX=\frac{5}{2} \\ DX=\frac{5}{4} \end{gathered}$$
例2：

解：
题意其实是：