数字信号处理周期序列 ( 周期序列定义 | 周期序列示例 )

Posted 2022-02-24 韩曙亮

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数字信号处理周期序列 ( 周期序列定义 | 周期序列示例 )相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

一、周期序列定义

周期序列定义 : $x (n)$ 满足
$\\ \\ \\ -\\infty < n < + \\infty$

条件 , 并且 $N$ 是满足上述条件的最小整数 , $x (n)$ 可以被称为以 $N$ 为周期的周期序列 ;

周期序列可以表示为 : $\\widetilde x(n)$

这里特别注意 , 周期 $N$ 是一个 " 整数 " , 没有单位 , 不是时间单位 , 这是因为采样间隔不确定 , 其量级可能是纳秒、微秒、毫秒、秒、年等单位 ;

傅里叶级数变换时 , 其频谱是离散的 , 其时域是周期的 ;

连续非周期的傅里叶变换也是连续非周期的 ;

频域与时域存在一个对偶关系 :

给定周期序列 :

$\\widetilde x(n) = \\sin( \\cfrac\\pi n4)$

有 $2$ 个条件是已知条件 :

① 正弦函数周期 : $\\sin$ 正弦函数的周期是 $2\\pi$ ;

$(\\phi) = sin(\\phi + 2k\\pi)$

代入到周期序列中 :

$\\widetilde x(n) = sin (\\cfrac\\pi n4) = sin(\\cfrac\\pi n4 + 2k\\pi)$

② 周期序列特性 : 上述序列是周期序列 , 一定满足 $\\ \\ \\ -\\infty < n < + \\infty$ 条件 ;

代入到周期序列中 : 使用 $n + N$ 替换 $n$ ;

$\\widetilde x(n) = sin (\\cfrac\\pi n4) = sin(\\cfrac\\pi n4 + 2k\\pi)$

$\\widetilde x(n) = sin (\\cfrac\\pi 4 (n + N)) = sin(\\cfrac\\pi n4 + 2k\\pi)$

直接对比 $\\sin$ 函数中的参数 :

$\\cfrac\\pi 4(n + N) = \\cfrac\\pi 4(n) + 2k \\pi$

$\\cfrac\\pi 4n + \\cfrac\\pi 4N = \\cfrac\\pi 4(n) + 2k \\pi$

$\\cfrac\\pi 4N = 2k \\pi$

$N = 8 k$

最小周期为 $N = 8, k = 1$

其含义是 $1$ 个 $\\sin$ 模拟周期内采集了 $8$ 个样本 ;

计算 $k$ 的值 :

数字角频率 $\\omega$ ( 单位 : 弧度 ) 与模拟角频率 $\\Omega$ ( 单位 : 弧度/秒 ) 关系如下 :

$\\omega = \\Omega T$

其中 , $T$ 是采样周期 , 单位是秒 ;

$\\omega = \\cfrac\\pi 4$ ,

$\\Omega = 2\\pi f_0$ , 其中 $f_0$ 是模拟频率 , 没有单位 ,

$f_0 = \\cfracTT_0$ , 其中 $T_0$ 是模拟信号周期 , 这里是 $2\\pi$ ;

将上述内容代入公式 :

$\\omega = \\cfrac\\pi 4 = \\Omega T = 2\\pi \\cfracTT_0$