数字信号处理周期序列 ( 周期序列示例 3 | 判断序列是否是周期序列 )

Posted 2022-02-24 韩曙亮

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• 一、周期序列示例 3 ( 判断序列是否是周期序列 )

一、周期序列示例 3 ( 判断序列是否是周期序列 )

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给定周期序列 :

$$\tilde{x}(n)=\sin (n)$$

有 $2$ 个条件是已知条件 :

① 正弦函数周期 : $\sin$ 正弦函数 的周期是 $2\pi$ ;

$$sin(\varphi )=sin(\varphi +2k\pi )$$

代入到周期序列中 :

$$\tilde{x}(n)=sin(n)=sin(n+2k\pi )$$

② 周期序列特性 : 上述序列是 周期序列 , 一定满足 $x(n)=x(n+N)-\infty <n<+\infty$ 条件 ;

代入到周期序列中 : 使用 $n+N$ 替换 $n$ ;

$$\tilde{x}(n)=sin(n)=sin(n+2k\pi )$$

$$\tilde{x}(n)=sin(n+N)=sin(n+2k\pi )$$

直接对比 $\sin$ 函数中的参数 :

$$n+N=n+2k\pi$$

$$N=2k\pi$$

上述公式中 , 不管 $k$ 取值什么值 , $N$ 都无法是整数 ;

周期序列成立的前提是 $N$ 必须是整数 ;

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周期序列定义 : $x(n)$ 满足
$$x(n)=x(n+N)-\infty <n<+\infty$$

条件 , 并且 $N$ 是满足上述条件的 最小整数 , $x(n)$ 可以被称为 以 $N$ 为周期 的 周期序列 ;

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计算 $k$ 的值 :

数字角频率 $\omega$ ( 单位 : 弧度 ) 与 模拟角频率 $\Omega$ ( 单位 : 弧度/秒 ) 关系如下 :

$$\omega =\Omega T$$

其中 , $T$ 是采样周期 , 单位是 秒 ;

$\omega =1$ ,

$\Omega =2\pi f_0$ , 其中 $f_0$ 是模拟频率 , 没有单位 ,

$f_0=\frac{T}{T_0}$ , 其中 $T_0$ 是模拟信号 周期 , 这里是 $2\pi$ ;

将上述内容代入公式 :

$$\omega =1=\Omega T=2\pi \frac{T}{T_0}$$

$$1=2\pi \frac{T}{T_0}$$

$$2\pi T=T_0$$

也就是说 在 $1$ 个模拟型号 $\sin$ 周期中 , 至少要采集 $2\pi$ 个 数字样本 ;

$\pi$ 是无理数 ;