数字信号处理周期序列 ( 周期序列示例 2 | 模拟信号周期 | 数字信号周期 | 在 a 个模拟信号周期内采集 b 个数字信号采样 )

Posted 2022-02-24 韩曙亮

文章目录

• 一、周期序列示例 2

一、周期序列示例 2

---

给定周期序列 :

$$\tilde{x}(n)=\sin (\frac{3\pi n}{8})$$

有 $2$ 个条件是已知条件 :

① 正弦函数周期 : $\sin$ 正弦函数 的周期是 $2\pi$ ;

$$sin(\varphi )=sin(\varphi +2k\pi )$$

代入到周期序列中 :

$$\tilde{x}(n)=sin(\frac{3\pi n}{8})=sin(\frac{3\pi n}{8}+2k\pi )$$

② 周期序列特性 : 上述序列是 周期序列 , 一定满足 $x(n)=x(n+N)-\infty <n<+\infty$ 条件 ;

代入到周期序列中 : 使用 $n+N$ 替换 $n$ ;

$$\tilde{x}(n)=sin(\frac{3\pi n}{8})=sin(\frac{3\pi n}{8}+2k\pi )$$

$$\tilde{x}(n)=sin(\frac{3\pi }{8}(n+N))=sin(\frac{3\pi n}{8}+2k\pi )$$

直接对比 $\sin$ 函数中的参数 :

$$\frac{3\pi }{8}(n+N)=\frac{3\pi n}{8}+2k\pi$$

$$\frac{3\pi }{8}n+\frac{3\pi }{8}N=\frac{3\pi }{8}(n)+2k\pi$$

$$\frac{3\pi }{8}N=2k\pi$$

$$N=\frac{16}{3}k$$

最小周期为 $N=16,k=3$

其含义是 $3$ 个 $\sin$ 模拟周期 内采集了 $16$ 个样本 ; $3$ 个模拟周期 等于一个 数字周期 ;

计算 $k$ 的值 :

数字角频率 $\omega$ ( 单位 : 弧度 ) 与 模拟角频率 $\Omega$ ( 单位 : 弧度/秒 ) 关系如下 :

$$\omega =\Omega T$$

其中 , $T$ 是采样周期 , 单位是 秒 ;

$\omega =\frac{\pi }{4}$ ,

$\Omega =2\pi f_0$ , 其中 $f_0$ 是模拟频率 , 没有单位 ,

$f_0=\frac{T}{T_0}$ , 其中 $T_0$ 是模拟信号 周期 , 这里是 $2\pi$ ;

将上述内容代入公式 :

$$\omega =\frac{3\pi }{8}=\Omega T=2\pi \frac{T}{T_0}$$

$$\frac{3\pi }{8}=2\pi \frac{T}{T_0}$$