数字信号处理序列傅里叶变换 ( 狄义赫利条件 | 序列傅里叶变换定义 )

Posted 2022-03-08 韩曙亮

文章目录

• 一、狄义赫利条件
• 二、序列傅里叶变换定义

一、狄义赫利条件

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" 连续非周期 " 的信号 的 傅里叶变换 FT , 也是 " 连续非周期 " 的 ;

" 傅里叶级数变换 " 是将 信号 以 $t$ 为周期 , 进行周期延拓 , 然后求 傅里叶变换 FT , 则该 FT 一定是 离散的 , 其间隔是 $\frac{2\pi }{t}$ ;

时域离散 的 非周期 信号 , 其 频域 一定是 连续 周期的 ;

任何 周期函数 , 如果满足 狄义赫利条件 ,

则可以 展开成 正交函数线性组合 的 无穷级数 ;

狄义赫利 ( Dirichlet ) 条件 :

• ① 连续的 周期函数 , 在 单个周期内 是连续的 , 假如有 间断点 , 则 这些 间断点 的数目 是有限的 ; 不能有 无穷多个 间断点 ;
• ② 单个周期 内 , 极大值 和 极小值 的个数 是 有限的 ;
• ③ 单个周期 内 , 信号是 绝对可积 的 , 如下公式中 $|f(t)|dt$ 是有限个 ;

$${\int }_{t_0}^{t_0+T}|f(t)|dt$$

二、序列傅里叶变换定义

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傅里叶变换 FT , 默认是 连续傅里叶变换 ;

序列傅里叶变换 SFT , 英文全称 " Sequence Fourier Transform " ;

$x(n)$ 信号 是 离散 非周期 的 , 那么其 傅里叶变换 一定是 连续 周期 的 ;

$x(n)$ 是绝对可和的 , 满足如下条件 :

$$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|x(n)|<\infty$$

连续周期 的傅里叶变换 , 可以展开成 正交函数线性组合 的 无穷级数和 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$

就是 $x(n)$ 的 序列傅里叶变换 SFT ;