数字信号处理序列傅里叶变换 ( 序列傅里叶变换定义详细分析 | 证明单位复指数序列正交完备性 | 序列存在傅里叶变换的性质 | 序列绝对可和 → 序列傅里叶变换一定存在 )

Posted 2022-03-08 韩曙亮

文章目录

• 一、序列傅里叶变换定义详细分析
• 二、证明单位复指数序列正交完备性
• 三、序列存在傅里叶变换的性质

一、序列傅里叶变换定义详细分析

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序列傅里叶变换 SFT , 英文全称 " Sequence Fourier Transform " ;

$x(n)$ 信号 是 离散 非周期 的 , 那么其 傅里叶变换 一定是 连续 周期 的 ;

$x(n)$ 是绝对可和的 , 满足如下条件 :

$$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|x(n)|<\infty$$

连续周期 的傅里叶变换 , 可以展开成 正交函数线性组合 的 无穷级数和 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$

就是 $x(n)$ 的 序列傅里叶变换 SFT ;

$\omega$ 是 数字角频率 , 单位是 弧度/秒 , 参考 【数字信号处理】基本序列 ( 正弦序列 | 数字角频率 ω | 模拟角频率 Ω | 数字频率 f | 模拟频率 f0 | 采样频率 Fs | 采样周期 T ) 博客 ;

$X(e^{j\omega })$ 是 实的连续的 变量 $\omega$ 的 复函数 , 其可以表示成 实部 和 虚部 ;

$$X(e^{j\omega })=X_g(e^{j\omega })+j{X}_l(e^{j\omega })=|X(e^{j\omega })|e^{j\theta (\omega )}$$

$|X(e^{j\omega })|$ 模 是其 " 幅频特性 " ,

$e^{j\theta (\omega )}$ 相角 是其 " 相频特性 " ,

其中

$$\theta (\omega )=\arg (X(e^{j\omega }))$$

二、证明单位复指数序列正交完备性

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证明如下 " 单位复指数序列 " 是 " 正交完备集 "

$$e^{-j\omega n}$$

其中 $n=0,\pm 1,\pm 2,\cdots$

证明正交完备性方法 $e^{-j\omega n}$ 函数 , 乘以该函数的共轭 $(e^{-j\omega n}{)}^{\ast }$ , 然后在一个周期中求积分 , 计算结果如下 :

$${\int }_{-\pi }^{\pi }{e}^{-j\omega n}(e^{-j\omega n}{)}^{\ast }d\omega =\{\begin{array}{ll}2\pi & m=n\\ & \\ 0& m\ne n\end{array}①$$

在上述计算结果的前提下 , 推导 $x(n)$ 和 $X(e^{j\omega })$ 之间的关系 :

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}②$$

将 ② 式 中 , 在等式两边 都乘以 $e^{j\omega k}$ , 然后对 $\omega$ 在 $-\pi$ ~ $\pi$ 之间进行积分得到 :

$${\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega k}d\omega ={\int }_{-\pi }^{\pi }\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}{e}^{j\omega k}d\omega$$

将 " $\sum$ 求和 " 与 " $\int$ 积分 " 交换位置 ,

$${\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega k}d\omega =\sum _{n=-\infty }^{+以上是关于数字信号处理序列傅里叶变换\; (\; 序列傅里叶变换定义详细分析\; |\; 证明单位复指数序列正交完备性\; |\; 序列存在傅里叶变换的性质\; |\; 序列绝对可和\; \to \; 序列傅里叶变换一定存在\; )的主要内容，如果未能解决你的问题，请参考以下文章}$$

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