数字信号处理序列傅里叶变换 ( 序列傅里叶变换与反变换 | 序列绝对可和 与 存在傅里叶变换之间的关系 | 序列傅里叶变换性质 )

Posted 2022-03-12 韩曙亮

文章目录

• 一、序列傅里叶变换与反变换
• 二、序列绝对可和 与 存在傅里叶变换之间的关系
• 三、序列傅里叶变换性质

一、序列傅里叶变换与反变换

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在上一篇博客 【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 序列傅里叶变换定义详细分析 | 证明单位复指数序列正交完备性 | 序列存在傅里叶变换的性质 | 序列绝对可和 → 序列傅里叶变换一定存在 ) 的介绍了如下内容 :

傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域 可以 展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式

$$X(e^{j\omega })=\sum _{n=-\infty }^{+\infty }x(n)e^{-j\omega n}$$

傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即 根据 傅里叶变换 推导 序列 ;

$$x(n)=\frac{1}{2\pi }{\int }_{-\pi }^{\pi }X(e^{j\omega })e^{j\omega k}d\omega$$

二、序列绝对可和 与 存在傅里叶变换之间的关系

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序列绝对可和 与 存在傅里叶变换 :

• 如果 " $x(n)$序列绝对可和 " , 则 " 序列傅里叶变换 SFT " 一定存在 ;
• 如果 " 序列傅里叶变换 SFT " 存在 , 不一定 " $x(n)$序列绝对可和 " ; 某些 " 非绝对可和序列 " , 引入 广义函数 $\delta (\omega )$ 后 , 其 傅里叶变换也存在 ;

序列绝对可和可以表示成 :

$$\sum _{n=-\infty }^{+\infty }|x(n)|<\infty$$

三、序列傅里叶变换性质

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$x(n)$ 的傅里叶变换是 $X(e^{j\omega })$ , 有如下性质 :

• 连续性 : 序列 $x(n)$ 是离散的 , 其 傅里叶变换 $X(e^{j\omega })$ 对 $\omega$ 来说是连续的 ;

• 周期性 : $X(e^{j\omega })$ 是周期的 , 其周期是 $2\pi$ , 其主值区间为 $[-\pi ,\pi ]$ ;

$$X(e^{j\omega })=X(e^{j(\omega +2M\pi )})$$

其中 $M$ 是整数 ; $e^{-j\omega n}$ , 将 $\omega =2\pi M$ 带入即可得到其是以 $2\pi$ 为周期的 ;

• 周期独立性 : 在 相同周期 内的 各个频率 彼此独立 , 频率列举 :
  • 数字角频率域 , 即 $\omega$ 域
  • 直流分量角频率 在 $\omega =2M\pi$ , $\pi$ 的偶数被上 ;
  • 信号 最高角频率 在 $\omega =(2M+1)\pi$ , $\pi$ 的奇数倍 上 ;

数字角频率 $\omega$ , 与 模拟角频率 $\Omega$ 之间的关系 :

$$\omega =\Omega T$$

直流就是 $\omega =2\pi f$ 中的 数字频率 $f=0$ ;

直流的时候 , 数字频率 $f$ 为 $0$ , 则数字角频率 $\omega$ 也为 $0$ ;

证明 " 直流分量角频率 在 $\omega =2M\pi$ " :

直流分量 角频率 在 $\pi$ 的偶数倍上 , 角频率 是以 $2\pi$ 为周期的 , 周期信号的 组织是 $[-\pi ,\pi ]$ ,

在 横轴为 $\omega$ 角频率 , 纵轴为 $X(e^{j\omega })$ 的坐标系中 , 横坐标 $\omega =0$ 位置的值对应 $\omega =2\pi$ 和 $\omega =-2\pi$ , 这 $3$ 个横坐标位置的纵坐标值相等 , 直流分量 永远在 $\pi$ 的偶数倍上 ;

证明 " 最高频率分量 在 $\pi$ 的奇数倍上 " :

根据 $\omega =\Omega T$ , 计算 $\omega =\pi$ 点对应的 模拟频率 ,

$$\omega =\Omega T=\pi$$

模拟角频率 $\Omega =\frac{\pi }{T}$ , 其中 $T$ 是采样周期 , 单位是秒 ;

则采样率 $F_s=\frac{1}{T}$ , 单位是 $Hz$ , 每秒采集多少样本 ;

$\Omega =\frac{\pi }{T}=\frac{{\Omega }_s}{2}$ , 其中 ${\Omega }_s$ 是采样角频率 ;

模拟角频率是 $\Omega =2\pi f$ , 其中 $\Omega$ 是模拟角频率 , $f$ 是模拟频率 ;

$${\Omega }_s=2\pi F_s=\frac{2\pi }{T}$$

根据采样定理 , Ω s