数字信号处理序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | 求 sinωn 的傅里叶变换 | 复变函数欧拉公式 )
Posted 韩曙亮
tags:
篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了数字信号处理序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | 求 sinωn 的傅里叶变换 | 复变函数欧拉公式 )相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
文章目录
一、求 sinωn 傅里叶变换
求 sin ω 0 n \\sin\\omega_0n sinω0n 的傅里叶变换 S F T [ sin ω 0 n ] SFT[\\sin\\omega_0n] SFT[sinω0n] ?
0、sinωn 序列分析
∑ n = − ∞ + ∞ ∣ sin ω 0 n ∣ = ∞ \\sum_n=-\\infty^+\\infty|\\sin\\omega_0n| = \\infty n=−∞∑+∞∣sinω0n∣=∞
sin ω 0 n \\sin\\omega_0n sinω0n 序列不是绝对可和的 , 序列值相加值为 ∞ \\infty ∞ , 但是其有傅里叶变换 ;
绝对可和 与 存在傅里叶变换 关系如下 :
- 如果 " x ( n ) x(n) x(n)序列绝对可和 " , 则 " 序列傅里叶变换 SFT " 一定存在 ;
- 如果 " 序列傅里叶变换 SFT " 存在 , 不一定 " x ( n ) x(n) x(n)序列绝对可和 " ; 某些 " 非绝对可和序列 " , 引入 广义函数 δ ( ω ) \\delta(\\omega) δ(ω) 后 , 其 傅里叶变换也存在 ;
1、傅里叶变换与反变换公式介绍
傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域 可以 展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式
X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n X(e^j\\omega) = \\sum_n=-\\infty^+\\infty x(n) e^-j \\omega n X(ejω)=n=−∞∑+∞x(n)e−jωn
傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即 根据 傅里叶变换 推导 序列 ;
x ( n ) = 1 2 π ∫ − π π X ( e j ω ) e j ω k d ω x(n) = \\cfrac12\\pi \\int_-\\pi ^\\pi X( e^j \\omega )e^j \\omega k d \\omega x(n)=2π1∫−ππX(ejω)ejωkdω
2、复变函数欧拉公式介绍
复变函数 欧拉公式 :
e i x = cos x + i sin x ① e^ix = \\cos x + i \\sin x \\ \\ \\ \\ ① eix=cosx+isinx ①
e − i x = cos x − i sin x ② e^-ix = \\cos x - i \\sin x \\ \\ \\ \\ ② e−ix=cosx−isinx ②
单位复指数序列特点 :
e j ( ω 0 n + 2 k π n ) = e j ω 0 n k = 0 , ± 1 , ± 2 , ⋯ e^j (\\omega _0 n + 2k\\pi n) = e^j \\omega_0 n \\ \\ \\ \\ \\ k = 0, \\pm1 , \\pm 2, \\cdots ej(ω0n+2kπn)=ejω0n k=0,±1,±2,⋯
对 ω \\omega ω 来说 一定是以 2 π 2\\pi 2π 为周期 ;
① 与 ② 相加 , 可以得到 :
cos x = e i x + e − i x 2 公 式 ③ \\cos x = \\cfrace^ix + e^-ix2 \\ \\ \\ \\ 公式③ cosx=2eix+e−ix 公式③
① 与 ② 相减 , 可以得到 :
sin x = e i x − e − i x 2 i 公 式 ④ \\sin x = \\cfrace^ix - e^-ix2i \\ \\ \\ \\ 公式④ sinx=2ieix−e−ix 公式④
可参考百度百科 : https://baike.baidu.com/item/欧拉公式/92066
3、求 sinωn 的傅里叶变换推导过程
直接 对
sin ω 0 n \\sin \\omega_0 n sinω0n
使用
sin x = e i x − e − i x 2 i 公 式 ④ \\sin x = \\cfrace^ix - e^-ix2i \\ \\ \\ \\ 公式④ sinx=2ieix−e−ix 公式④
公式 ,
可以得到 :
sin ω 0 n = e i ω 0 n − e − i ω 0 n 2 i ⑤ \\sin \\omega_0 n = \\cfrace^i\\omega_0 n - e^-i\\omega_0 n2i \\ \\ \\ \\ ⑤ sinω0n=2ieiω0n−e−iω0n ⑤
求上述
e i ω 0 n − e − i ω 0 n 2 i \\cfrace^i\\omega_0 n - e^-i\\omega_0 n2i 2ieiω0n−e−iω0n
序列的傅里叶变换 ,
在 【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | e^jωn 的傅里叶变换 ) 博客中 , 已经求出了 e i ω 0 n e^i\\omega_0 n eiω0n 的傅里叶变换 , 结果是 :
S
F
T
[
e
j
ω
0
n
]
=
∑
n
=
−
∞
+
∞
e
−
j
(
ω
−
ω
0
)
=
2
π
δ
~
(
ω
−
ω
0
)
SFT[e^j \\omega_0 n] = \\sum_n=-\\infty^+\\infty e^ -j ( \\omega - \\omega_0 ) =2 \\pi \\widetilde\\delta ( \\omega - \\omega_0 )
SFT[ejω0n]=n=−∞∑+∞e−j(ω−ω0)
数字信号处理序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | e^jωn 的傅里叶变换 )
数字信号处理序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | e^jωn 的傅里叶变换 )
数字信号处理序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | 单位脉冲序列 δ(n) 傅里叶变换 )
数字信号处理序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | 求 a^nu(n) 的傅里叶变换 )