数字信号处理序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | e^jωn 的傅里叶变换 )

Posted 韩曙亮

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一、求 e j ω 0 n e^j \\omega_0 n ejω0n 傅里叶变换



e j ω 0 n e^j \\omega_0 n ejω0n 的傅里叶变换 S F T [ e j ω 0 n ] SFT[e^j \\omega_0 n] SFT[ejω0n] ?



1、傅里叶变换与反变换公式介绍


傅里叶变换 : 时域 " 离散非周期 " 信号 , 其频域就是 " 连续周期 " 的 , 其频域 可以 展开成一个 " 正交函数的无穷级数加权和 " , 如下公式

X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n X(e^j\\omega) = \\sum_n=-\\infty^+\\infty x(n) e^-j \\omega n X(ejω)=n=+x(n)ejωn


傅里叶反变换 : 利用 " 正交函数 " 可以推导出 " 傅里叶反变换 " , 即 根据 傅里叶变换 推导 序列 ;

x ( n ) = 1 2 π ∫ − π π X ( e j ω ) e j ω k d ω x(n) = \\cfrac12\\pi \\int_-\\pi ^\\pi X( e^j \\omega )e^j \\omega k d \\omega x(n)=2π1ππX(ejω)ejωkdω


2、带入 傅里叶变换 公式


e j ω 0 n e^j \\omega_0 n ejω0n

序列函数 , 带入到 傅里叶变换 公式

X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ x ( n ) e − j ω n X(e^j\\omega) = \\sum_n=-\\infty^+\\infty x(n) e^-j \\omega n X(ejω)=n=+x(n)ejωn

中 ;


可以得到 :

S F T [ e j ω 0 n ] = ∑ n = − ∞ + ∞ e j ω 0 n e − j ω n SFT[e^j \\omega_0 n] = \\sum_n=-\\infty^+\\infty e^j \\omega_0 n e^-j \\omega n SFT[ejω0n]=n=+ejω0nejωn

根据指数运算法则 , 可以得到如下式子 :

S F T [ e j ω 0 n ] = ∑ n = − ∞ + ∞ e − j ( ω − ω 0 )      ① SFT[e^j \\omega_0 n] = \\sum_n=-\\infty^+\\infty e^ -j ( \\omega - \\omega_0 ) \\ \\ \\ \\ ① SFT[ejω0n]=n=+ej(ωω0)    

在上一篇博客 【数字信号处理】序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | 求 1 的傅里叶变换 ) 中 , 求 1 1 1 的傅里叶变换得到如下公式 :

X ( e j ω ) = ∑ n = − ∞ + ∞ e − j ω n = 2 π δ ~ ( ω )      ② X(e^j\\omega) = \\sum_n=-\\infty^+\\infty e^-j \\omega n = 2 \\pi \\widetilde\\delta ( \\omega ) \\ \\ \\ \\ ② X(ejω)=n=+ejωn=2πδ (ω)    

将 ② 带入到 ① 中 ,

S F T [ e j ω 0 n ] = ∑ n = − ∞ + ∞ e − j ( ω − ω 0 ) = 2 π δ ~ ( ω − ω 0 ) SFT[e^j \\omega_0 n] = \\sum_n=-\\infty^+\\infty e^ -j ( \\omega - \\omega_0 ) =2 \\pi \\widetilde\\delta ( \\omega - \\omega_0 ) SFT[ejω0n]=n=+ej(ωω0)=2πδ (ωω0)



其中 δ ~ ( ω ) \\widetilde\\delta ( \\omega ) δ (ω) 序列如下 , 这是以 2 π 2\\pi 2π 为周期的单位脉冲序列 , 在 2 π 2\\pi 2π 整数倍的位置上值为 1 1 1 ;


δ ~ ( ω ) \\widetilde\\delta ( \\omega ) δ (ω) 可以写成如下式子 :

δ ~ ( ω ) = ∑ m = − ∞ ∞ δ ( ω − 2 π m ) \\widetilde\\delta ( \\omega ) = \\sum_m = -\\infty^\\infty \\delta( \\omega - 2\\pi m ) δ (ω)=m=δ(ω2πm)

m m m 取值 ( − ∞ , + ∞ ) (-\\infty , +\\infty) (,+) ;

以上是关于数字信号处理序列傅里叶变换 ( 基本序列的傅里叶变换 | e^jωn 的傅里叶变换 )的主要内容,如果未能解决你的问题,请参考以下文章

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