漫步凸分析一——仿射集

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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了漫步凸分析一——仿射集相关的知识，希望对你有一定的参考价值。

本文中，用 $R$ 表示实数， $R^n$ 表示实 $n$ 元 $x=(\\xi_1,\\ldots,\\xi_n)$ 的向量空间，除非特别指明，否则都是在 $R^n$ 中讨论。在 $R^n$ 中两个向量 $x,x^*$ 的内积表示成

⟨x,x∗⟩=ξ1ξ∗1+⋯+ξnξ∗n $\\langle x,x^*\\rangle=\\xi_1\\xi_1^*+\\cdots+\\xi_n\\xi_n^*$

符号 $A$ 既可以表示 $m\\times n$ 的实矩阵 $A$ ，也可以表示从 $R^n$ 到 $R^m$ 相应的线性变换 $x\\to Ax$ 。转置矩阵以及从 $R^m$ 到 $R^n$ 相应的伴随线性变换都用 $A^*$ 表示，所以大家需要知道下式的含义

⟨Ax,y∗⟩=⟨x,A∗y∗⟩ $\\langle Ax,y^*\\rangle=\\langle x,A^*y^*\\rangle$

(在表示向量的符号中，*不进行任何操作；考虑到矩阵乘法，所有向量都看做列向量。我们不断的使用向量符号是为了让大家熟悉它的二元性，也就说说，既可以将向量看做点，也可以将向量看成线性函数的 $n$ 元系数)所有证明过程都会用符号 $||$ 表示证明结束。

如果 $x,y$ 是 $R^n$ 中不同的点，那么形如下面的点集就叫做通过 $x,y$ 的直线

(1−λ)x+λy=x+λ(y−x),λ∈R $(1-\\lambda)x+\\lambda y=x+\\lambda(y-x),\\quad \\lambda\\in R$

$M$ 是 $R^n$ 的一个子集，如果对于每一个 $x\\in M,y\\in M,\\lambda\\in R$ ，可得 $(1-\\lambda)x+\\lambda y\\in M$ ，那么我们称这个子集为仿射集(affine set)。

空集 $\\emptyset$ 和空间 $R^n$ 本身就是仿射集的极端例子，另外 $M$ 仅有一个孤立点的情况也满足定义。一般来讲，仿射集必须包含通过任意两个点的整条直线，直观印象是不存在弯曲的部分，就像空间中的一条直线或者一个平面。

仿射集正式的几何意义可能是从线性代数中 $R^n$ 子空间的定理发展来的，仿射集和子空间之间准确的对应关系可以用下面两个定理描述。

定理1.1 $R^n$ 的子空间是包含原点的仿射集。

证明：每个子空间包含0并且对于加法和标量乘法封闭，所以它是一个仿射集。

反过来，假设 $M$ 是一个包含0的仿射集。对于所有的 $x\\in M,\\lambda\\in R$ ，我们有

λx=(1−λ)0+λx∈M $\\lambda x=(1-\\lambda)0+\\lambda x\\in M$

所以 $M$ 对标量乘法封闭。接下来，如果 $x\\in M,y\\in M$ ，我们有

12(x+y)=101-凸集