01-凸集

Posted 2021-06-18 二十三岁的有德

目录

• 一、仿射集和凸集
• 二、重要的例子
• 三、保凸运算
• 四、广义不等式
• 五、分离与支撑超平面
• 六、对偶锥

01-凸集

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一、仿射集和凸集

1. 直线和线段：\\(x_1\\neq{x_2}\\)属于空间中的两个点，则存在点 \\(y=\\theta{x_1}+(1-\\theta)x_2\\)，如果 \\(\\theta\\in R\\)，则点的集合称为直线；如果 \\(\\theta\\in [0,1]\\)，则点的集合称为线段
2. 仿射集合：集合 \\(C\\) 中任意两个不同点的直线仍然在集合 \\(C\\) 中，即对于任意的 $x_1, x_2 \\in C $ 和 $ \\theta\\in R $，都有 \\(\\theta_1 x + (1-\\theta) x_2 \\in C\\)
3. 凸集：集合 \\(C\\) 中任意两个不同点的线段仍然在集合 \\(C\\) 中，即对于任意的 $x_1, x_2 \\in C $ 和 $ \\theta\\in [0,1] $，都有 \\(\\theta_1 x + (1-\\theta) x_2 \\in C\\)
   1. 图2-2，凸集：
4. 锥：对于任意 \\(x\\in C\\) 和 \\(\\theta \\geq 0\\) 都有 \\(\\theta x \\in C\\)，则称集合 \\(C\\) 是锥。如果 \\(C\\) 是凸的，则称为凸锥，即对于任意的 $x_1, x_2 \\in C $ 和 $ \\theta_1, \\theta_2 \\geq 0 $，都有 \\(\\theta_1 x_1 + \\theta_2 x_2 \\in C\\)
   4. 图 2-4，凸锥：

二、重要的例子

1. 重要的仿射集、凸集、凸锥：
   1. 空集、任意一个点、全空间 \\(R^n\\) 都是仿射的，也是凸的
   2. 直线是仿射的
   3. 通过零点的直线是仿射，也是凸锥
   4. 线段是凸的，但不仿射
   5. 一条射线是凸的，但不仿射
   6. 基点是 0 的射线是凸锥
   7. 任意子空间是仿射的、凸锥
2. 超平面：\\(\\{x|a^Tx=b\\}\\)，其中 \\(a \\neq 0\\)，可以看成法向量是 \\(a\\) 的超平面，而 \\(b\\) 决定了平面到原点的偏移
3. 半空间：\\(\\{x|a^T \\leq b\\}\\)，其中 \\(a \\neq 0\\)。
   1. 注：半空间是凸的，不是仿射的
   2. 图 2-7，半空间：
4. Euclid 球和椭球（凸）：
   1. Euclid 范数：\\(\\| \\cdot \\|_2\\)，即 \\(\\|u\\|_2 = {(u^T u)}^ {1/2}\\)
   2. Euclid 球：\\(\\{x|(x-x_c)^T (x-x_c) \\leq r^2\\}\\)
   3. 椭球：\\(\\{x|(x-x_c)^T P^{-1}(x-x_c) \\leq 1\\}\\)，其中 \\(P^{-1}\\) 相当于做了空间变换，可变成斜椭球
   4. 图2-9，椭球：
5. 范数球和范数锥（凸）：
   1. 范数球：$ {x||x-x_c|\\leq r}$
   2. 范数锥：\\(\\{ (x,t) | \\|x\\| \\leq t\\} \\subseteq R^{n+1}\\)
   3. 图 2-10，\\(R^3\\) 中的二阶锥：
6. 多面体：有限个线性等式和不等式的解集，$ P = {x| a_j^T x \\leq b_j, j=1,\\cdots,m, c_j^T x = d_j, j = 1,\\cdots,p}$，通俗的讲，多面体就是有限个半空间和超平面的交集。
   1. 图 2-11，多面体：

三、保凸运算

四、广义不等式

五、分离与支撑超平面

六、对偶锥