最优化所需基础知识-第三节：重要凸集举例
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篇首语：本文由小常识网(cha138.com)小编为大家整理，主要介绍了最优化所需基础知识-第三节：重要凸集举例相关的知识，希望对你有一定的参考价值。
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（1）超平面
超平面：任取非零向量 a ∈ R n a\\in \\R^n a∈Rn，形如
x ∣ a T x = b , a ≠ 0 , b ∈ R \\x|a^T x=b\\,a\\not=0,b\\in R x∣aTx=b,a=0,b∈R
的集合称之为超平面
上述定义还可以表示为：
x ∣ a T ( x − x 0 ) = 0 \\x|a^T (x-x_0)=0\\ x∣aT(x−x0)=0
- x 0 x_0 x0为超平面上任意一点
下图：是由
R
2
R^2
R2中由法向量
a
a
a和超平面上一点
x
0
x_0
x0确定的超平面，对于超平面上任意一点
x
x
x，
x
−
x
0
x-x_0
x−x0都垂直于
a
a
a
（2）半空间
超平面：任取非零向量 a ∈ R n a\\in \\R^n a∈Rn，形如
x ∣ a T x ≤ b \\x|a^Tx \\leq b\\ x∣aTx≤b
的集合称为半空间
一个超平面会将 R n R^n Rn划分为两个半空间，对于下图中的 R 2 R^2 R2来说
- 由 a T x ≥ b a^Tx \\geq b aTx≥b决定的半空间（白色部分） ：是向 a a a扩展的部分
- 由 a T x ≤ b a^Tx \\leq b aTx≤b决定的半空间（阴影部分） ：是向 − a -a −a扩展的部分，向量 a a a是这个半空间向外的法向量
（3）超平面和半空间与凸集和仿射集的关系
A：关系
关系：超平面和半空间与凸集和仿射集的关系总结如下
- 超平面是仿射集
- 超平面是凸集
- 半空间不是仿射集
- 半空间是凸集
B：证明（部分）
证明：超平面为凸集
证明：半空间为凸集
（4）（范数）球和椭球
（范数）球：设空间中到某一定点 x c x_c xc（称为球心）的距离小于等于定值 r r r（称为半径）的点的集合为（范数）球，即
B ( x c , r ) = x ∣ ∣ ∣ x − x c ∣ ∣ ≤ r = x c + r u ∣ ∣ ∣ u ∣ ∣ ≤ 1 B(x_c, r)=\\x|\\quad ||x-x_c||\\leq r\\=\\x_c+ru|\\quad ||u||\\leq1\\ B(xc,r)=x∣∣∣x−xc∣∣≤r=xc+ru∣∣∣u∣∣≤1
- 一般来说，我们使用二范数度量距离，即使用2-范数球，即 x ∣ ∣ ∣ x − x c ∣ ∣ ≤ r \\x|\\quad ||x-x_c||\\leq r\\ x∣∣∣x−xc∣∣≤r
椭球：设形如
x ∣ ( x − x c ) T P − 1 ( x − x c ) ≤ 1 = x c + A u ∣ ∣ ∣ u ∣ ∣ 2 ≤ 1 \\x| (x-x_c)^TP^-1(x-x_c)\\leq1\\=\\x_c+Au|\\quad ||u||_2\\leq 1\\ x∣(x−xc)TP−1(x−xc)≤1=xc+Au∣∣∣u∣∣2≤1
的集合为椭球，其中 x c x_c xc称为椭球中心。 P P P对称正定且 A A A可逆
（5）范数锥
范数锥：球和椭球的范围完全取决于 x x x的范围，而锥的范围则同时受 x x x和 t t t的控制。将形如
( x , t ) ∣ ∣ ∣ x ∣ ∣ ≤ t \\(x, t)|\\quad ||x||\\leq t\\ (x,t)∣∣∣x∣∣≤t
的集合为范数锥
- 使用二范数度量距离的锥称为二次锥，也称为冰淇淋锥
（6）多面体
多面体：我们把满足线性等式和不等式组的点的集合称为多面体，即
x ∣ A x ≤ b , C x = d \\x|Ax\\leq b,Cx=d\\ x∣Ax≤b,Cx=d
其中 A ∈ R m × n A\\in \\R^m×n A∈Rm×n， C ∈ R p × n C\\in \\R^p×n C∈Rp×n， x ≤ y x\\leq y x≤y表示向量 x x x的每个分量都 ≤ y \\leq y ≤y的对应分量。多面体是有限个半空间和超平面的交
（7）单纯形
单纯形：单纯性是一类特殊的多面体。在
R
n
\\R^n
Rn空间中选择
v
0
,
v
1
,
.
.
.
,
v
k
\\v_0, v_1, ... ,v_k\\
v0,v1,...,vk共计
k
+
1
k+1
k+1个点，并要求向量线段
v
1
−
v
0
,
v
2
−
v
1
,
.
.
.
,
v
k
−
v
k
−
1
,
v
0
−
v
k
v_1-v_0,v_2-v_1,...,v_k-v_k-1,v_0-v_k
v1−v0,v2−v1,...,vk−vk−1,v0−vk构成线性无关组，则
v
0
,
v
1
,
.
.
.
,
v
k
\\v_0, v_1, ... ,v_k\\