约瑟夫环问题

Posted 2022-09-14 KangRoger

约瑟夫环问题：一圈共有N个人，开始报数，报到M的人自杀，然后重新开始报数，问最后自杀的人是谁？

如图：内环表示人排列的环，外环表示自杀顺序；上面N=41,M=3。

最普通办法就是模拟整个过程：建一个bool数组，true表示此人还活着，false表示已经自杀。可以模拟整个过程

#include<iostream>
using namespace std;
int main()

	int N;//人的总个数
	int M;//间隔多少个人

	cin>>N;
	cin>>M;

	bool *p=new bool[N+1];//[1……N]为true表示此人还活着
	for (int i=1; i <= N; i++)
		*(p+i)=true;
	
	int count=0;//统计自杀的人数

	for (int i=1, j=0; ;i++)//i用来表示循环，j用来计算是不是第N个人
	
		if (*(p+i))//此人还活着
		
			j++;
			if (j == M)
			
				*(p+i)=false;
				j=0;
				count++;//统计自杀的人
			
			if (count == N)
			
				cout<<"最后自杀的人是："<<i<<endl;
				break;
			
		

		if(i == N)
			i=0;
	

	delete []p;
	
	return 0;

模拟整个过程，复杂度为O(NM)。可以用数学方法来求解：

把问题重新描述一下：N个人（编号0~(N-1))，从0开始报数，报到(M-1)的自杀，剩下的人继续从0开始报数。求最后自杀者的编号。

N个人编号如下：

第一个自杀的人是（M-1）%N，例如上图中，41个人中，报到3的人自杀，则字一个自杀的人的编号是（3-1）%41=2。编号（M-1)%N自杀后，剩下的人排列如下：

有人自杀后，下一个位置M又从零开始报数，因此环应该如下：

将上面的排列顺序重新编号：

问题变为（N-1）个人，报到为（M-1）的人自杀，问题规模减小了。这样一直进行下去，最后剩下编号为0的人。用函数表示：

F(1)=0

当有2个人的时候（N=2），报道（M-1）的人自杀，最后自杀的人是谁？应该是在只有一个人时，报数时得到的最后自杀的序号加上M，因为报到M-1的人已经自杀，只剩下2个人，另一个自杀者就是最后自杀者，用函数表示：

F(2)=F(1)+M

可以得到递推公式：

F(i)=F(i-1)+M

因为可能会超出总人数范围，所以要求模

F(i)=(F(i-1)+M)%i

有了递推公式就可以在O（N）时间求出结果：

#include<iostream>
using namespace std;
int main()

	int N;//人的总个数
	int M;//间隔多少个人

	cin>>N;
	cin>>M;
	int result=0;//N=1情况
	for (int i=2; i<=N; i++)
	
		result=(result+M)%i;
	
	cout<<"最后自杀的人是："<<result+1<<endl;//result要加1
	return 0;